若椭圆E1：x2a21+y2b21=1和椭圆E2：x2a22+y2b22=1满足a2a1=b2b1=m(m＞0)，则称这两个椭圆相似，m是相似比．（Ⅰ）求过（2

题型：不详难度：来源：

若椭圆E₁：

x2

a 21

+

y2

b 21

=1和椭圆E₂：

x2

a 22

+

y2

b 22

=1满足

a2

a1

=

b2

b1

=m(m＞0)，则称这两个椭圆相似，m是相似比．
（Ⅰ）求过（2，

6

)且与椭圆

x2

4

+

y2

2

=1相似的椭圆的方程；
（Ⅱ）设过原点的一条射线l分别与（Ⅰ）中的两椭圆交于A、B两点（点A在线段OB上）．
①若P是线段AB上的一点，若|OA|，|OP|，|OB|成等比数列，求P点的轨迹方程；
②求|OA|•|OB|的最大值和最小值．

答案

（Ⅰ）设与

x2

4

+

y2

2

=1相似的椭圆的方程

x2

a 2

+

y2

b 2

=1．
则有

2 a = 2 b 4 a2 + 6 b2 =1

…（3分）
解得a²=16，b²=8．
所求方程是

x2

16

+

y2

8

=1．…（4分）
（Ⅱ）①当射线l的斜率不存在时A(0，±

2

)，B(0，±2

2

)，
设点P坐标P（0，y₀），则y₀²=4，y₀=±2．即P（0，±2）．…（5分）
当射线l的斜率存在时，设其方程y=kx，P（x，y）
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则

y1=kx1 x 21 4 + y 21 2 =1

得

x 21 = 4 1+2k2 y 21 = 4k2 1+2k2

∴|OA|=

2 1+k2

1+2k2

同理|OB|=

4 1+k2

1+2k2

…（7分）
又点P在l上，则k=

y

x

，且由x2+y2=

8(1+k2)

1+2k2

=

8(1+ y2 x2 )

1+2 y2 x2

=

8(x2+y2)

x2+2y2

，
即所求方程是

x2

8

+

y2

4

=1．
又∵（0，±2）适合方程，
故所求椭圆的方程是

x2

8

+

y2

4

=1．…（9分）
②由①可知，当l的斜率不存在时，|OA|•|OB|=

2

•2

2

=4，当l的斜率存在时，
|OA|•|OB|=

8(1+k2)

1+2k2

=4+

4

1+2k2

，
∴4＜|OA|•|OB|≤8，…（11分）
综上，|OA|•|OB|的最大值是8，最小值是4．…（12分）