【理科】已知双曲线的中心在坐标原点O,一条准线方程为x=32,且与椭圆x225+y213=1有共同的焦点.(1)求此双曲线的方程;(2)设直线:y=kx+3与双
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【理科】已知双曲线的中心在坐标原点O,一条准线方程为x=32,且与椭圆x225+y213=1有共同的焦点.(1)求此双曲线的方程;(2)设直线:y=kx+3与双
题型:不详
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【理科】已知双曲线的中心在坐标原点O,一条准线方程为
x=
3
2
,且与椭圆
x
2
25
+
y
2
13
=1
有共同的焦点.
(1)求此双曲线的方程;
(2)设直线:y=kx+3与双曲线交于A、B两点,试问:是否存在实数k,使得以弦AB为直径的圆过点O?若存在,求出k的值,若不存在,请说明理由.
答案
(1)设双曲线方程为
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
.
由已知得:
c
2
=12,
a
2
c
=
3
2
,则a
2
=3,b
2
=9,…(3分)
因此所求双曲线的标准方程为
x
2
3
-
y
2
9
=1
.…(5分)
(2)存在实数k,使得以弦AB为直径的圆过点O,…(6分)
将y=kx+3代入
x
2
3
-
y
2
9
=1
得(3-k
2
)x
2
-6kx-18=0,
则由3-k
2
≠0,△=216-36k
2
>0得-
6
<k<
6
,k
≠±
3
;…(8分)
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则x
1
,x
2
是上述方程的两个根,
由题意知:OA⊥OB,则x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,…(10分)
又y
1
=kx
1
+3,y
2
=kx
2
+3,
∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=(1+k
2
)x
1
x
2
+3k(x
1
+x
2
)+9=
9
k
2
-9
k
2
-3
=0,
即k=±1满足条件.…(12分)
举一反三
已知双曲线C
1
:
x
2
-
y
2
4
=1
.
(1)求与双曲线C
1
有相同焦点,且过点P(4,
3
)的双曲线C
2
的标准方程;
(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C
1
的两条渐近线于A、B两点.当
OA
•
OB
=3
时,求实数m的值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆G:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
6
3
,右焦点为(2
2
,0),斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).
(Ⅰ)求椭圆G的方程;
(Ⅱ)求△PAB的面积.
题型:不详
难度:
|
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(A题)已知点P是圆x
2
+y
2
=4上一动点,直线l是圆在P点处的切线,动抛物线以直线l为准线且恒经过定点A(-1,0)和B(1,0),则抛物线焦点F的轨迹为( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
题型:不详
难度:
|
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(A题)如图,在椭圆
x
2
a
2
+
y
2
8
=1(a>0)中,F
1
,F
2
分别是椭圆的左右焦点,B,D分别为椭圆的左右顶点,A为椭圆在第一象限内弧上的任意一点,直线AF
1
交y轴于点E,且点F
1
,F
2
三等分线段BD.
(1)若四边形EBCF
2
为平行四边形,求点C的坐标;
(2)设m=
S
△A
F
1
O
S
△AEO
,n=
S
△C
F
1
O
S
△CEO
,求m+n的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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(B题)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,长轴长为2
3
,离心率为
3
3
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点A(-1,1),过原点O的直线交椭圆于点B,C,求△ABC面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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