已知双曲线C1:x2-y24=1.(1)求与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,3)的双曲线C2的标准方程;(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线
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已知双曲线C1:x2-y24=1.(1)求与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,3)的双曲线C2的标准方程;(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线
题型:不详
难度:
来源:
已知双曲线C
1
:
x
2
-
y
2
4
=1
.
(1)求与双曲线C
1
有相同焦点,且过点P(4,
3
)的双曲线C
2
的标准方程;
(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C
1
的两条渐近线于A、B两点.当
OA
•
OB
=3
时,求实数m的值.
答案
(1)∵双曲线C
1
:
x
2
-
y
2
4
=1
,
∴焦点坐标为(
5
,0),(
-
5
,0)
设双曲线C
2
的标准方程为
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1
(a>0,b>0),
∵双曲线C
2
与双曲线C
1
有相同焦点,且过点P(4,
3
)
∴
a
2
+
b
2
=5
16
a
2
-
3
b
2
=1
,解得
a=2
b=1
∴双曲线C
2
的标准方程为
x
2
4
-
y
2
=1
(2)双曲线C
1
的两条渐近线为y=2x,y=-2x
由
y=2x
y=x+m
,可得x=m,y=2m,∴A(m,2m)
由
y=-2x
y=x+m
,可得x=-
1
3
m,y=
2
3
m,∴B(-
1
3
m,
2
3
m)
∴
OA
•
OB
=-
1
3
m
2
+
4
3
m
2
=
m
2
∵
OA
•
OB
=3
∴m
2
=3
∴
m=±
3
举一反三
已知椭圆G:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
6
3
,右焦点为(2
2
,0),斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).
(Ⅰ)求椭圆G的方程;
(Ⅱ)求△PAB的面积.
题型:不详
难度:
|
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(A题)已知点P是圆x
2
+y
2
=4上一动点,直线l是圆在P点处的切线,动抛物线以直线l为准线且恒经过定点A(-1,0)和B(1,0),则抛物线焦点F的轨迹为( )
A.圆
B.椭圆
C.双曲线
D.抛物线
题型:不详
难度:
|
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(A题)如图,在椭圆
x
2
a
2
+
y
2
8
=1(a>0)中,F
1
,F
2
分别是椭圆的左右焦点,B,D分别为椭圆的左右顶点,A为椭圆在第一象限内弧上的任意一点,直线AF
1
交y轴于点E,且点F
1
,F
2
三等分线段BD.
(1)若四边形EBCF
2
为平行四边形,求点C的坐标;
(2)设m=
S
△A
F
1
O
S
△AEO
,n=
S
△C
F
1
O
S
△CEO
,求m+n的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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(B题)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,长轴长为2
3
,离心率为
3
3
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点A(-1,1),过原点O的直线交椭圆于点B,C,求△ABC面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的长轴长为4,若点P是椭圆C上任意一点,过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点,记直线PM、PN的斜率分别为K
PM
、K
PN
,当
K
PM
•
K
PN
=-
1
4
时,则椭圆方程为( )
A.
x
2
16
+
y
2
4
=1
B.
x
2
4
+
y
2
2
=1
C.
x
2
+
y
2
4
=1
D.
x
2
4
+
y
2
=1
题型:不详
难度:
|
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