已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1(-c,0),F2(c,0),点Q是椭圆外的动点,满足|F1Q|=2a,点P是线段F1Q与该椭圆的交
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1(-c,0),F2(c,0),点Q是椭圆外的动点,满足|F1Q|=2a,点P是线段F1Q与该椭圆的交
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左右焦点为F
1
(-c,0),F
2
(c,0),点Q是椭圆外的动点,满足
|
F
1
Q
|=2a
,点P是线段F
1
Q与该椭圆的交点
(1)若点P的横坐标为
a
2
,证明:
|
F
1
P
|=a+
c
2
(2)若存在点Q,使得△F
1
QF
2
的面积等于b
2
,求椭圆离心率的取值范围.
答案
(1)证明:椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左准线方程为
x=-
a
2
c
∵点P的横坐标为
a
2
,
∴由椭圆的定义可知,
|
F
1
P
|
|
a
2
+
a
2
c
|
=
c
a
,
∴
|
F
1
P
|=a+
c
2
;
(2)设Q(x,y),则
∵
|
F
1
Q
|=2a
,∴(x+c)
2
+y
2
=4a
2
∴|y|≤2a
∵存在点Q,使得△F
1
QF
2
的面积等于b
2
,
∴
1
2
•2c•|y|=
b
2
∴
|y|=
b
2
c
∴
b
2
c
≤2a
∴e
2
+2e-1≥0
∴
e≥
2
-1
或
e≤-
2
-1
∵0<e<1
∴
2
-1≤e<1
.
举一反三
已知定点F
1
(-
3
,0),F
2
(
3
,0),动点R在曲线C上运动且保持|RF
1
|+|RF
2
|的值不变,曲线C过点T(0,1),
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)M是曲线C上一点,过点M作斜率分别为k
1
和k
2
的直线MA,MB交曲线C于A、B两点,若A、B关于原点对称,求k
1
•k
2
的值;
(Ⅲ)直线l过点F
2
,且与曲线C交于PQ,有如下命题p:“当直线l垂直于x轴时,△F
1
PQ的面积取得最大值”.判断命题p的真假.若是真命题,请给予证明;若是假命题,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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双曲线
x
2
v
-
y
2
图6
=图
的右焦点是抛物线的焦点,则抛物线的标准方程是______.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线y
2
=-x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点.
(1)求证:OA⊥OB;
(2)当△OAB的面积等于
10
时,求k的值.
题型:不详
难度:
|
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设P为抛物线y=x
2
上一点,当P点到直线x-y+2=0的距离最小时,P点的坐标为______.
题型:不详
难度:
|
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双曲线C与椭圆
x
2
8
+
y
2
4
=1
有相同的焦点,直线
y=
3
x
为C的一条渐近线.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点P(0,4)的直线l,交双曲线C于A、B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合),当
PQ
=
λ
1
QA
=
λ
2
QB
,且
λ
1
+
λ
2
=-
8
3
时,求Q点的坐标.
题型:不详
难度:
|
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