已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1(-c,0),F2(c,0),点Q是椭圆外的动点,满足|F1Q|=2a,点P是线段F1Q与该椭圆的交

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1(-c,0),F2(c,0),点Q是椭圆外的动点,满足|F1Q|=2a,点P是线段F1Q与该椭圆的交

题型:不详难度:来源:
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦点为F1(-c,0),F2(c,0),点Q是椭圆外的动点,满足|


F1Q
|=2a
,点P是线段F1Q与该椭圆的交点
(1)若点P的横坐标为
a
2
,证明:|


F1P
|=a+
c
2

(2)若存在点Q,使得△F1QF2的面积等于b2,求椭圆离心率的取值范围.
答案
(1)证明:椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左准线方程为x=-
a2
c

∵点P的横坐标为
a
2

∴由椭圆的定义可知,
|


F1P
|
|
a
2
+
a2
c
|
=
c
a

|


F1P
|=a+
c
2

(2)设Q(x,y),则
|


F1Q
|=2a
,∴(x+c)2+y2=4a2
∴|y|≤2a
∵存在点Q,使得△F1QF2的面积等于b2
1
2
•2c•|y|=b2

|y|=
b2
c

b2
c
≤2a

∴e2+2e-1≥0
e≥


2
-1
e≤-


2
-1

∵0<e<1


2
-1≤e<1
举一反三
已知定点F1(-


3
,0),F2


3
,0),动点R在曲线C上运动且保持|RF1|+|RF2|的值不变,曲线C过点T(0,1),
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)M是曲线C上一点,过点M作斜率分别为k1和k2的直线MA,MB交曲线C于A、B两点,若A、B关于原点对称,求k1•k2的值;
(Ⅲ)直线l过点F2,且与曲线C交于PQ,有如下命题p:“当直线l垂直于x轴时,△F1PQ的面积取得最大值”.判断命题p的真假.若是真命题,请给予证明;若是假命题,请说明理由.
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双曲线
x2
v
-
y2
图6
=图
的右焦点是抛物线的焦点,则抛物线的标准方程是______.
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已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点.
(1)求证:OA⊥OB;
(2)当△OAB的面积等于


10
时,求k的值.
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设P为抛物线y=x2上一点,当P点到直线x-y+2=0的距离最小时,P点的坐标为______.
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双曲线C与椭圆
x2
8
+
y2
4
=1
有相同的焦点,直线y=


3
x
为C的一条渐近线.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点P(0,4)的直线l,交双曲线C于A、B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合),当


PQ
=λ1


QA
=λ2


QB
,且λ1+λ2=-
8
3
时,求Q点的坐标.
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