已知函数f(x)的定义域为N*,且f(x+1)=f(x)+x,f(1)=0.(1)求f(x)的解析式.(2)设an=1f(n).(n∈N*,n≥2),Sn=a2
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已知函数f(x)的定义域为N*,且f(x+1)=f(x)+x,f(1)=0.(1)求f(x)的解析式.(2)设an=1f(n).(n∈N*,n≥2),Sn=a2
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)的定义域为N
*
,且f(x+1)=f(x)+x,f(1)=0.
(1)求f(x)的解析式.
(2)设
a
n
=
1
f(n)
.(n∈N*,n≥2),
S
n
=
a
2
+
a
3
+a
3
+…+
a
n
,问是否存在最大的正整数m,使得对任意的n∈N*均有
S
n
>
m
2012
恒成立?若存在,求出m值;若不存在请说明理由.
答案
(1)令x=n,则由f(x+1)=f(x)+x可得f(n+1)-f(n)=n
∴f(n)=f(1)+[f(2)-f(1)]+…+[f(n)-f(n-1)]=1+2+…+(n-1)=
n(n-1)
2
(n≥2)
n=1时,f(1)=0也满足上式
∴
f(n)=
n(n-1)
2
∴f(x)=
x(x-1)
2
;
(2)
a
n
=
1
f(n)
=
2
n(n-1)
=2(
1
n-1
-
1
n
)(n≥2)
∴S
n
=2[(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)]=2-
2
n
∵n≥2时,
S
n+1
-
S
n
=
2
n
-
2
n+1
>0
∴S
n
(n≥2)递增,
∴(S
n
)
min
=a
2
=1
∵对任意的n∈N
*
均有
S
n
>
m
2012
恒成立
∴
1>
m
2012
∴m<2012
∴最大的正整数m为2011.
举一反三
已知正项数列{a
n
}中,a
1
=1,点
(
a
n
,
a
n+1
),(n∈
N
*
)
在函数y=x
2
+1的图象上.
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)已知
b
n
=(
1
2
)
n-1
,n∈
N
*
,令
C
n
=
-1
a
n+1
log
2
b
n+1
,求{C
n
}的前n项和T
n
.
题型:不详
难度:
|
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在等差数列{a
n
},等比数列{b
n
}中,a
1
=b
1
=1,a
2
=b
2
,a
4
=b
3
≠b
4
.
(Ⅰ)设S
n
为数列{a
n
}的前n项和,求a
n
b
n
和S
n
;
(Ⅱ)设
C
n
=
a
n
b
n
S
n+1
(n∈N
*
),R
n
=C
1
+C
2
+…+C
n
,求R
n
.
题型:杭州二模
难度:
|
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已知数列{a
n
}是首项为1的等差数列,若a
2
+1,a
3
+1,a
5
成等比数列.
(1)求数列{a
n
}通项公式;
(2)设
b
n
=
1
a
n
a
n+1
,求数列{b
n
}的前n项和S
n
.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=lo
g
2
x
,且数列{f(a
n
)}是首项为2,公差为2的等差数列.
(1)求证:数列{a
n
}是等比数列;
(2)设b
n
=a
n
•f(a
n
),求数列{b
n
}的前n项和S
n
的最小值..
题型:韶关一模
难度:
|
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已知数列{a
n
}满足a
n
=a
n+1
+4,a
18
+a
20
=12,等比数列{b
n
}的首项为2,公比为q.
(Ⅰ)若q=3,问b
3
等于数列{a
n
}中的第几项?
(Ⅱ)数列{a
n
}和{b
n
}的前n项和分别记为S
n
和T
n
,S
n
的最大值为M,当q=2时,试比较M与T
9
的大小.
题型:龙岩模拟
难度:
|
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