已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点.(1)求证:OA⊥OB;(2)当△OAB的面积等于10时,求k的值.
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已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点.(1)求证:OA⊥OB;(2)当△OAB的面积等于10时,求k的值.
题型:不详
难度:
来源:
已知抛物线y
2
=-x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点.
(1)求证:OA⊥OB;
(2)当△OAB的面积等于
10
时,求k的值.
答案
(1)由方程y
2
=-x,y=k(x+1)
消去x后,整理得
ky
2
+y-k=0.
设A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
),由韦达定理y
1
•y
2
=-1.
∵A、B在抛物线y
2
=-x上,
∴y
1
2
=-x
1
,y
2
2
=-x
2
,y
1
2
•y
2
2
=x
1
x
2
.
∵k
OA
•k
OB
=
y
1
x
1
•
y
2
x
2
=
y
1
y
2
x
1
x
2
=
1
y
1
y
2
=-1,
∴OA⊥OB.
(2)设直线与x轴交于N,又显然k≠0,
∴令y=0,则x=-1,即N(-1,0).
∵S
△OAB
=S
△OAN
+S
△OBN
=
1
2
|ON||y
1
|+
1
2
|ON||y
2
|
=
1
2
|ON|•|y
1
-y
2
|,
∴S
△OAB
=
1
2
•1•
(
y
1
+
y
2
)
2
-4
y
1
y
2
=
1
2
(
1
k
)
2
+4
.
∵S
△OAB
=
10
,
∴
10
=
1
2
1
k
2
+4
.解得k=±
1
6
.
举一反三
设P为抛物线y=x
2
上一点,当P点到直线x-y+2=0的距离最小时,P点的坐标为______.
题型:不详
难度:
|
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双曲线C与椭圆
x
2
8
+
y
2
4
=1
有相同的焦点,直线
y=
3
x
为C的一条渐近线.
(1)求双曲线C的方程;
(2)过点P(0,4)的直线l,交双曲线C于A、B两点,交x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合),当
PQ
=
λ
1
QA
=
λ
2
QB
,且
λ
1
+
λ
2
=-
8
3
时,求Q点的坐标.
题型:不详
难度:
|
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如图,
ADB
为半圆,AB为半圆直径,O为半圆圆心,且OD⊥AB,Q为线段OD的中点,已知|AB|=4,曲线C过Q点,动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系,求曲线C的方程;
(Ⅱ)过点B的直线l与曲线C交于M、N两点,与OD所在直线交于E点,若
EM
=
λ
1
MB
,
EN
=
λ
2
NB
,求证:
λ
1
+
λ
2
为定值.
题型:不详
难度:
|
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过抛物线y
2
=2px焦点F作直线l交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,则△ABO为( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.不确定
D.钝角三角形
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率e=
3
2
,椭圆C的上、下顶点分别为A
1
,A
2
,左、右顶点分别为B
1
,B
2
,左、右焦点分别为F
1
,F
2
.原点到直线A
2
B
2
的距离为
2
5
5
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过原点且斜率为
1
2
的直线l,与椭圆交于E,F点,试判断∠EF
2
F是锐角、直角还是钝角,并写出理由;
(3)P是椭圆上异于A
1
,A
2
的任一点,直线PA
1
,PA
2
,分别交x轴于点N,M,若直线OT与过点M,N的圆G相切,切点为T.证明:线段OT的长为定值,并求出该定值.
题型:不详
难度:
|
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