如图，ADB为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|

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如图，

ADB

为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
（Ⅱ）过点B的直线l与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若

=λ1

，

=λ2

，求证：λ1+λ2为定值．

答案

（Ⅰ）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，
∵动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变、且点Q在曲线C上，
∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2

22+12

＞|AB|=4、
∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆
设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，则2a=2

，∴a=

，c=2，b=1、
∴曲线C的方程为

+y²=1（5分）
（Ⅱ）：设M，N，E点的坐标分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），E（0，y₀），
又易知B点的坐标为（2，0）、且点B在椭圆C内，故过点B的直线l必与椭圆C相交、
∵

=λ1

，∴（x₁，y₁-y₀）=λ₁（2-x₁，-y₁）、
∴x1=

2λ1

1+λ1

，y1=

1+λ1

、（7分）
将M点坐标代入到椭圆方程中得：

(

2λ1

1+λ1

)2+(

1+λ1

)2=1，
去分母整理，得λ₁²+10λ₁+5-5y₀²=0、（10分）
同理，由

=λ2

可得：λ₂²+10λ₂+5-5y₀²=0、
∴λ₁，λ₂是方程x²+10x+5-5y₀²=0的两个根，
∴λ₁+λ₂=-10、（12分）

举一反三

过抛物线y²=2px焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO为（　　）

A．锐角三角形

B．直角三角形

C．不确定

D．钝角三角形

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已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的离心率e=

，椭圆C的上、下顶点分别为A₁，A₂，左、右顶点分别为B₁，B₂，左、右焦点分别为F₁，F₂．原点到直线A₂B₂的距离为

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点且斜率为

的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF₂F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；
（3）P是椭圆上异于A₁，A₂的任一点，直线PA₁，PA₂，分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

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如图，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，F₁，F₂分别是椭圆C的左、右焦点，M是椭圆短轴的一个端点，过F₁的直线l与椭圆交于A，B两点，△MF₁F₂的面积为4，△ABF₂的周长为8

（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点Q的坐标为（1，0），是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆，使得该圆与直线PF₁，PF₂都相切，如存在，求出P点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．

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已知双曲线E：

=1(a＞0，b＞0)的离心率为e，左、右两焦点分别为F₁、F₂，焦距为2c，抛物线C以F₂为顶点，F₁为焦点，点P为抛物线与双曲线右支上的一个交点，若a|PF₂|+c|PF₁|=8a²，则e的值为（　　）

A．

B．3

C．

D．

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已知椭圆：

=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为2+

和2-

，求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O任作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于P、Q和R、S四点．设原点O到四边形PRQS某一边的距离为d，试求：当d=1时

的值．

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