如图,椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,M是椭圆短轴的一个端点,过F1的直线l与椭圆交于A,B两点,△MF1F2的面积为4,
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如图,椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,M是椭圆短轴的一个端点,过F1的直线l与椭圆交于A,B两点,△MF1F2的面积为4,
题型:不详
难度:
来源:
如图,椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,F
1
,F
2
分别是椭圆C的左、右焦点,M是椭圆短轴的一个端点,过F
1
的直线l与椭圆交于A,B两点,△MF
1
F
2
的面积为4,△ABF
2
的周长为
8
2
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设点Q的坐标为(1,0),是否存在椭圆上的点P及以Q为圆心的一个圆,使得该圆与直线PF
1
,PF
2
都相切,如存在,求出P点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理由.
答案
(Ⅰ)由题意知:
1
2
×2c×b=4即bc=4
又
4a=8
2
即a=2
2
,
∵a
2
=b
2
+c
2
解得b=c=2
∴椭圆的方程为
x
2
8
+
y
2
4
=1
(Ⅱ)假设存在椭圆上的一点P(x
0
,y
0
),使得直线PF
1
,PF
2
与以Q为圆心的圆相切,
则Q到直线PF
1
,PF
2
的距离相等,
∵F
1
(-2,0),F
2
(2,0)
∴PF
2
:(x
0
-2)y-y
0
x+2y
0
=0; PF
1
:(x
0
+2)y-y
0
x-2y
0
=0
d
1
=
|
y
0
|
(
x
0
-2)
2
+
y
0
2
=
|3
y
0
|
(
x
0
+2)
2
+
y
0
2
=
d
2
化简整理得:8x
0
2
-40x
0
+32+8y
0
2
=0
∵点在椭圆上,
∴x
0
2
+2y
0
2
=8
解得:x
0
=2或x
0
=8(舍)
x
0
=2时,
y
0
=±
2
,r=1,
∴椭圆上存在点P,其坐标为
(2,
2
)
或
(2,-
2
)
,
使得直线PF
1
,PF
2
与以Q为圆心的圆(x-1)
2
+y
2
=1相切
举一反三
已知双曲线
E:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的离心率为e,左、右两焦点分别为F
1
、F
2
,焦距为2c,抛物线C以F
2
为顶点,F
1
为焦点,点P为抛物线与双曲线右支上的一个交点,若a|PF
2
|+c|PF
1
|=8a
2
,则e的值为( )
A.
3
B.3
C.
2
D.
6
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
.
(Ⅰ)若椭圆的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为
2+
3
和
2-
3
,求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,过坐标原点O任作两条互相垂直的直线与椭圆分别交于P、Q和R、S四点.设原点O到四边形PRQS某一边的距离为d,试求:当d=1时
1
a
2
+
1
b
2
的值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F
1
、F
2
在x轴上,长轴A
1
A
2
的长为4,左准线l与x轴的交点为M,
M
A
1
=2
A
1
F
1
.
(I)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点M的直线l"与椭圆交于C、D两点,若
OC
•
OD
=0
,求直线l"的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,右焦点为F(1,0).
(Ⅰ)求此椭圆的方程;
(Ⅱ)若过点F且倾斜角为
π
4
的直线与此椭圆相交于A,B两点,求|AB|的值.
题型:不详
难度:
|
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【理科】抛物线顶点在原点,焦点是圆x
2
+y
2
-4x=0的圆心.
(1)求抛物线的方程;
(2)直线l的斜率为2,且过抛物线的焦点,与抛物线交于A、B两点,求弦AB的长;
(3)过点P(1,1)引抛物线的一条弦,使它被点P平分,求这条弦所在的直线方程.
题型:不详
难度:
|
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