已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1、F2在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线l与x轴的交点为M,MA1=2A1F1.(I)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点M的直线
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已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F1、F2在x轴上,长轴A1A2的长为4,左准线l与x轴的交点为M,MA1=2A1F1.(I)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点M的直线
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆的中心在坐标原点,焦点F
1
、F
2
在x轴上,长轴A
1
A
2
的长为4,左准线l与x轴的交点为M,
M
A
1
=2
A
1
F
1
.
(I)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点M的直线l"与椭圆交于C、D两点,若
OC
•
OD
=0
,求直线l"的方程.
答案
(I)设椭圆的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,半焦距为c
则|
M
A
1
|=
a
2
c
-a,|
A
1
F
1
|=a-c.
由题意,得
a
2
c
-a=2(a-c)
2a=4
a
2
=
b
2
+
c
2
∴a=2,b=
3
,c=1
故所求椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
(II)点M的坐标为M(-4,0),设C、D两点坐标分别为C(x
1
,y
1
),D(x
2
,y
2
),l"的方程为y=k(x+4),代入椭圆方程整理,得
(3+4
k
2
)
x
2
+32
k
2
x+64
k
2
-12=0
则
x
1
+
x
2
=-
32
k
2
3+4
k
2
,
x
1
x
2
=
64
k
2
-12
3+4
k
2
由
OC
•
OD
=0得
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=0
又
y
1
y
2
=
k
2
[
x
1
x
2
+4(
x
1
+
x
2
)+16]
后三个式子得
(1+
k
2
)
64
k
2
-12
3+4
k
2
+4
k
2
(-32
k
2
)
3+4
k
2
+16
k
2
=0
解得
k
2
=
3
25
,代入第一个中检验有△>0,∴
k=±
3
5
,
所以所求直线l’的主程为
y=±
3
5
(x+4)
举一反三
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,右焦点为F(1,0).
(Ⅰ)求此椭圆的方程;
(Ⅱ)若过点F且倾斜角为
π
4
的直线与此椭圆相交于A,B两点,求|AB|的值.
题型:不详
难度:
|
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【理科】抛物线顶点在原点,焦点是圆x
2
+y
2
-4x=0的圆心.
(1)求抛物线的方程;
(2)直线l的斜率为2,且过抛物线的焦点,与抛物线交于A、B两点,求弦AB的长;
(3)过点P(1,1)引抛物线的一条弦,使它被点P平分,求这条弦所在的直线方程.
题型:不详
难度:
|
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【理科】已知双曲线的中心在坐标原点O,一条准线方程为
x=
3
2
,且与椭圆
x
2
25
+
y
2
13
=1
有共同的焦点.
(1)求此双曲线的方程;
(2)设直线:y=kx+3与双曲线交于A、B两点,试问:是否存在实数k,使得以弦AB为直径的圆过点O?若存在,求出k的值,若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线C
1
:
x
2
-
y
2
4
=1
.
(1)求与双曲线C
1
有相同焦点,且过点P(4,
3
)的双曲线C
2
的标准方程;
(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C
1
的两条渐近线于A、B两点.当
OA
•
OB
=3
时,求实数m的值.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆G:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率为
6
3
,右焦点为(2
2
,0),斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2).
(Ⅰ)求椭圆G的方程;
(Ⅱ)求△PAB的面积.
题型:不详
难度:
|
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