已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F1(2,0),离心率为e.(1)若e=22,求椭圆的方程;(2)设A,B为椭圆上关于原点对称的两点,AF
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已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F1(2,0),离心率为e.(1)若e=22,求椭圆的方程;(2)设A,B为椭圆上关于原点对称的两点,AF
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的右焦点为F
1
(2,0),离心率为e.
(1)若e=
2
2
,求椭圆的方程;
(2)设A,B为椭圆上关于原点对称的两点,AF
1
的中点为M,BF
1
的中点为N,若原点O在以线段MN为直径的圆上.
①证明点A在定圆上;
②设直线AB的斜率为k,若k
≥
3
,求e的取值范围.
答案
(1)由
e=
2
2
=
c
a
,c=2,得a=
2
2
,b=
a
2
-
c
2
=2.
故所求椭圆方程为
x
2
8
+
y
2
4
=1
.
(2)设A(x
1
,y
1
),则B(-x
1
,-y
1
),故
M(
x
1
+2
2
,
y
1
2
)
,
N(
2-
x
1
2
,-
y
1
2
)
.
①由题意,得
OM
•
ON
=0
.化简,得
x
21
+
y
21
=4
,∴点A在以原点为圆心,2为半径的圆上.
②设A(x
1
,y
1
),则
y
1
=k
x
1
x
21
a
2
+
y
21
b
2
=1
x
21
+
y
21
=4
得到
1
a
2
+
k
2
b
2
=
1
4
(1+
k
2
)
.
将
e=
c
a
=
2
a
,
b
2
=
a
2
-
c
2
=
4
e
2
-4
,代入上式整理,得k
2
(2e
2
-1)=e
4
-2e
2
+1;
∵e
4
-2e
2
+1>0,k
2
>0,
∴2e
2
-1>0,
∴
e>
2
2
.
∴
k
2
=
e
4
-2
e
2
+1
2
e
2
-1
≥3,化简得
e
4
-8
e
2
+4≥0
2
e
2
-1>0
,解之得
1
2
<
e
2
≤4-2
3
,
2
2
<e≤
3
-1
.
故离心率的取值范围是
(
2
2
,
3
-1]
.
举一反三
已知直线l与椭圆
x
2
36
+
y
2
9
=1
交于A和B两点,点(4,2)是线段AB的中点,则直线l的方程是______.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的左右焦点为F
1
(-c,0),F
2
(c,0),点Q是椭圆外的动点,满足
|
F
1
Q
|=2a
,点P是线段F
1
Q与该椭圆的交点
(1)若点P的横坐标为
a
2
,证明:
|
F
1
P
|=a+
c
2
(2)若存在点Q,使得△F
1
QF
2
的面积等于b
2
,求椭圆离心率的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知定点F
1
(-
3
,0),F
2
(
3
,0),动点R在曲线C上运动且保持|RF
1
|+|RF
2
|的值不变,曲线C过点T(0,1),
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)M是曲线C上一点,过点M作斜率分别为k
1
和k
2
的直线MA,MB交曲线C于A、B两点,若A、B关于原点对称,求k
1
•k
2
的值;
(Ⅲ)直线l过点F
2
,且与曲线C交于PQ,有如下命题p:“当直线l垂直于x轴时,△F
1
PQ的面积取得最大值”.判断命题p的真假.若是真命题,请给予证明;若是假命题,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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双曲线
x
2
v
-
y
2
图6
=图
的右焦点是抛物线的焦点,则抛物线的标准方程是______.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线y
2
=-x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点.
(1)求证:OA⊥OB;
(2)当△OAB的面积等于
10
时,求k的值.
题型:不详
难度:
|
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