(Ⅰ)连结QF,根据题意,|QP|=|QF|,则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4>|EF|=2, 故动点Q的轨迹Γ是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆.(2分) 设其方程为+=1(a>b>0),可知a=2,c==,则b=1,(3分) 所以点Q的轨迹Γ的方程为为+y2=1.(4分) (Ⅱ)存在最小值.(5分) (ⅰ)当AB为长轴(或短轴)时,可知点C就是椭圆的上、下顶点(或左、右顶点), 则S△ABC=×|OC|×|AB|=ab=2.(6分) (ⅱ)当直线AB的斜率存在且不为0时,设斜率为k,则直线AB的直线方程为y=kx,设点A(xA,yA), 联立方程组消去y得=,=, 由|CA|=|CB|,知△ABC是等腰三角形,O为AB的中点,则OC⊥AB,可知直线OC的方程为y=-x, 同理可得点C的坐标满足=,=,则|OA|2=+=,|OC|2=+=,(8分) 则S△ABC=2S△OAC=|OA|×|OC|=|OA|2=×=.(9分) 由于≤≤, 所以S△ABC=2S△OAC≥=,当且仅当1+4k2=k2+4,即k2=1时取等号. 综合(ⅰ)(ⅱ),当k2=1时,△ABC的面积取最小值,(11分) 此时==,==,即xC=±,yC=±, 所以点C的坐标为(,),(,-),(-,),(-,-).(13分) |