P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左右顶点,直线PM,PN的斜率之积为15.(1)
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P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一点,M,N分别是双曲线E的左右顶点,直线PM,PN的斜率之积为15.(1)
题型:不详
难度:
来源:
P(x
0
,y
0
)(x
0
≠±a)是双曲线E:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
上一点,M,N分别是双曲线E的左右顶点,直线PM,PN的斜率之积为
1
5
.
(1)求双曲线的离心率;
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足
OC
=λ
OA
+
OB
,求λ的值.
答案
(1)∵P(x
0
,y
0
)(x
0
≠±a)是双曲线E:
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
上一点,
∴
x
0
2
a
2
-
y
0
2
b
2
=1
,
由题意又有
y
0
x
0
-
a
•
y
0
x
0
+a
=
1
5
,
可得a
2
=5b
2
,c
2
=a
2
+b
2
,
则e=
c
a
=
30
5
,
(2)联立
x
2
-5
y
2
=5
b
2
y=x-c
,得4x
2
-10cx+35b
2
=0,
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则x
1
+x
2
=
5c
2
,x
1
•x
2
=
35
b
2
4
,
设
OC
=(x
3
,y
3
),
OC
=λ
OA
+
OB
,
即
x
3
=λ
x
1
+
x
2
y
3
=λ
y
1
+
y
2
又C为双曲线上一点,即x
3
2
-5y
3
2
=5b
2
,
有(λx
1
+x
2
)
2
-5(λy
1
+y
2
)
2
=5b
2
,
化简得:λ
2
(x
1
2
-5y
1
2
)+(x
2
2
-5y
2
2
)+2λ(x
1
x
2
-5y
1
y
2
)=5b
2
,
又A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)在双曲线上,所以x
1
2
-5y
1
2
=5b
2
,x
2
2
-5y
2
2
=5b
2
,
而x
1
x
2
-5y
1
y
2
=x
1
x
2
-5(x
1
-c)(x
2
-c)=-4x
1
x
2
+5c(x
1
+x
2
)-5c
2
=10b
2
,
得λ
2
+4λ=0,解得λ=0或-4.
举一反三
如图,已知圆E:(x+
3
)
2
+y
2
=16,点F(
3
,0),P是圆E上任意一点.线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.
(Ⅰ)求动点Q的轨迹Γ的方程;
(Ⅱ)已知A,B,C是轨迹Γ的三个动点,A与B关于原点对称,且|CA|=|CB|,问△ABC的面积是否存在最小值?若存在,求出此时点C的坐标,若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知F
1
,F
2
分别为椭圆C
1
:
x
2
b
2
+
y
2
a
2
=1(a>b>0)的上下焦点,其F
1
是抛物线C
2
:x
2
=4y的焦点,点M是C
1
与C
2
在第二象限的交点,且|MF
2
|=
3
5
.
(1)试求椭圆C
1
的方程;
(2)与圆x
2
+(y+1)
2
=1相切的直线l:y=k(x+t)(t≠0)交椭圆于A,B两点,若椭圆上一点P满足
OA
+
OB
=λ
OP
,求实数λ的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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以抛物线y
2
=4x的焦点为右焦点的椭圆,上顶点为B
2
,右顶点为A
2
,左、右焦点为F
1
、F
2
,且|
F
1
B
2
|cos∠B
2
F
1
F
2
=
3
3
|
O
B
2
|,过点D(0,2)的直线l,斜率为k(k>0),l与椭圆交于M,N两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若M,N的中点为H,且
OH
∥
A
2
B
2
,求出斜率k的值;
(3)在x轴上是否存在点Q(m,0),使得以QM,QN为邻边的四边形是个菱形?如果存在,求出m的范围;否则,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率e=
2
2
,过右焦点F且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,且|AB|=
2
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx+t(t≠0)与椭圆C相交于M,N两点,直线AO平分线段MN,求△OMN的面积的最大值及此时直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C
1
:
x
2
4
+
y
2
3
=1
,抛物线C
2
:(y-m)
2
=2px(p>0),且C
1
、C
2
的公共弦AB过椭圆C
1
的右焦点.
(Ⅰ)当AB⊥x轴时,求m、p的值,并判断抛物线C
2
的焦点是否在直线AB上;
(Ⅱ)是否存在m、p的值,使抛物线C
2
的焦点恰在直线AB上?若存在,求出符合条件的m、p的值;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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