已知动点P与双曲线x2-y23=1.的两焦点F1,F2的距离之和为大于4的定值,且|PF1|•|PF2|的最大值为9.(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)若A,

已知动点P与双曲线x2-y23=1.的两焦点F1,F2的距离之和为大于4的定值,且|PF1|•|PF2|的最大值为9.(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)若A,

题型:不详难度:来源:
已知动点P与双曲线x2-
y2
3
=1
.的两焦点F1,F2的距离之和为大于4的定值,且|


PF1
|•|


PF2
|的最大值为9.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)若A,B是曲线E上相异两点,点M(0,2)满足


AM


MB
,求实数λ的取值范围.
答案
(1)双曲线x2-
y2
3
=1
的焦点F1(-2,0).
设已知定值为2a,则|


PF
1
|+|


PF2
|=2a
,因此,动点P的轨迹E是以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点,长轴长为2a的椭圆.
设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
.(2分)
|


PF 1
|•|


PF 2
|≤(
|


PF 1
|+


PF 2
2
) 2
=a2,
∴a2=9,b2=a2-c2=5,
∴动点P的轨迹E的方程
x2
9
+
y2
5
=1

(II)设A(x1,y1),B(x2,y2),则由点M(0,2)满足


AM


MB
,得:





-x 1=λx   2 
-2-y 1=λ(y 2+2)
  且M,A,B三点共线,设直线为l,
当直线l的斜率存在时,设l:y=kx-2,则将直线的方程代入椭圆的方程,化简得:
(5+9k2)x2-36kx-9=0,根据根与系数的关系得:
  x1+x2=
36k
5+9k  2
,x1x2=
-9
5+9k 2

将x1=-λx2,代入,消去x2,得:
(1-λ) 2
λ
=
144k 2
5+9k 2

化得:
(1-λ) 2
λ
=
144k 2
5+9k 2
=
144
5
k 2
+9

0<
(1-λ) 2
λ
< 16

解之得:实数λ的取值范围为[9-4


5
,9+4


5
].
举一反三
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率e=


2
2
,左、右焦点分别为F1、F2,点P(2,


3
)
满足:F2在线段PF1的中垂线上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若斜率为k(k≠0)的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A(2,0)、M、N,且∠NF2F1=∠MF2A,求k的取值范围.
题型:深圳二模难度:| 查看答案
过抛物线x2=4y的焦点F作与y轴垂直的直线与抛物线相交于点P,则抛物线在点P处的切线l的方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
设M,N为抛物线C:y=x2上的两个动点,过M,N分别作抛物线C的切线l1,l2,与x轴分别交于A,B两点,且l1∩l2=P,若|AB|=1,
(1)若|AB|=1,求点P的轨迹方程
(2)当A,B所在直线满足什么条件时,P的轨迹为一条直线?(请千万不要证明你的结论)
(3)在满足(1)的条件下,求证:△MNP的面积为一个定值,并求出这个定值.
题型:广州一模难度:| 查看答案
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的一个焦点与抛物线y2=8ax的焦点重合,则该双曲线的离心率等于(  )
A.


2
B.


3
C.2D.3
题型:临汾模拟难度:| 查看答案
双曲线C和椭圆4x2+y2=1有相同的焦点,它的一条渐近线为y=


2
x,则双曲线C的方程为(  )
A.4x2-2y2=1B.2x2-y2=1C.4x2-2y2=-1D.2x2-y2=-1
题型:不详难度:| 查看答案
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