已知f（x）=sinx+2sin(π4+x2)cos(π4+x2)．（Ⅰ）若f(α)=22，α∈(-π2，0)，求α的值；（Ⅱ）若sinx2=45，x∈(π2，

题型：不详难度：来源：

已知f（x）=sinx+2sin(

π

4

+

x

2

)cos(

π

4

+

x

2

)．
（Ⅰ）若f(α)=

2

2

，α∈(-

π

2

，0)，求α的值；
（Ⅱ）若sin

x

2

=

4

5

，x∈(

π

2

，π)，求f（x）的值．

答案

f（x）=sinx+2sin(

π

4

+

x

2

)cos(

π

4

+

x

2

)
=sinx+sin(x+

π

2

)
=sinx+cosx
=

2

sin(x+

π

4

).
（Ⅰ）由f(α)=

2

2

，得

2

sin(α+

π

4

)=

2

2

，
∴sin(α+

π

4

)=

1

2

.
∵α∈(-

π

2

，0)，∴α+

π

4

∈(-

π

4

，

π

4

)，
∴α+

π

4

=

π

6

，∴α=-

π

12

.
（Ⅱ）∵x∈(

π

2

，π)，∴

x

2

∈(

π

4

，

π

2

)，
又sin

x

2

=

4

5

，∴cos

x

2

=

3

5

，
∴sinx=2sin

x

2

cos

x

2

=

24

25

，cosx=-

1-sin2x

=-

7

25

.
∴f（x）=sinx+cosx=

24

25

-

7

25

=

17

25

.