已知抛物线C1:y=x2,椭圆C2:x2+y24=1.(1)设l1,l2是C1的任意两条互相垂直的切线,并设l1∩l2=M,证明:点M的纵坐标为定值;(2)在C

已知抛物线C1:y=x2,椭圆C2:x2+y24=1.(1)设l1,l2是C1的任意两条互相垂直的切线,并设l1∩l2=M,证明:点M的纵坐标为定值;(2)在C

题型:不详难度:来源:
已知抛物线C1:y=x2,椭圆C2:x2+
y2
4
=1.
(1)设l1,l2是C1的任意两条互相垂直的切线,并设l1∩l2=M,证明:点M的纵坐标为定值;
(2)在C1上是否存在点P,使得C1在点P处切线与C2相交于两点A、B,且AB的中垂线恰为C1的切线?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
答案
(1)y′=2x,
设切点分别为(x1,x12),(x2,x22
则l1方程为y-x12=2x1(x-x1
即y=2x1x-x12
l2方程为y=2x2x-x22
由l1⊥l2得2x12x2=-1
x1x2=-
1
4

所以yM=-
1
4

即点M的纵坐标为定值-
1
4

(2)设P(x0,x02),
则C1在点P处切线方程为:y=2x0x-x02
代入C2方程4x2+y2-4=0
得4x2+(2x0x-x02)-4=0
即(4+4x02)x2-4x03x+x04-4=0
设A(x3,y3),B(x4,y4
x3+x4=
x30
1+
x20
x3x4=
x40
-4
4+4
x20

△=16x06-16(1+x02)(x04-4)=16(4+4x02-x04)>0   ③
由(1)知yM=-
1
4

从而
y3+y4
2
=-
1
4

x0(x3+x4)-
x20
=--
1
4

进而得
x40
1+
x20
-
x20
=-
1
4

解得
x20
=
1
3
,且满足③
所以这样点P存在,其坐标为


3
3
1
3
)
举一反三
双曲线x2-
8y2
p2
=1
(p>0)的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则该双曲线的离心率为(  )
A.1B.


2
C.


3
D.2
题型:河南模拟难度:| 查看答案
已知动点P与双曲线x2-
y2
3
=1
.的两焦点F1,F2的距离之和为大于4的定值,且|


PF1
|•|


PF2
|的最大值为9.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)若A,B是曲线E上相异两点,点M(0,2)满足


AM


MB
,求实数λ的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率e=


2
2
,左、右焦点分别为F1、F2,点P(2,


3
)
满足:F2在线段PF1的中垂线上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若斜率为k(k≠0)的直线l与x轴、椭圆C顺次相交于点A(2,0)、M、N,且∠NF2F1=∠MF2A,求k的取值范围.
题型:深圳二模难度:| 查看答案
过抛物线x2=4y的焦点F作与y轴垂直的直线与抛物线相交于点P,则抛物线在点P处的切线l的方程为______.
题型:不详难度:| 查看答案
设M,N为抛物线C:y=x2上的两个动点,过M,N分别作抛物线C的切线l1,l2,与x轴分别交于A,B两点,且l1∩l2=P,若|AB|=1,
(1)若|AB|=1,求点P的轨迹方程
(2)当A,B所在直线满足什么条件时,P的轨迹为一条直线?(请千万不要证明你的结论)
(3)在满足(1)的条件下,求证:△MNP的面积为一个定值,并求出这个定值.
题型:广州一模难度:| 查看答案
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