已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值．
题型：不详难度：来源：
| 已知抛物线y=ax2+bx在第一象限内与直线x+y=4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a，b值，并求S的最大值． |
答案
依题设可知抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=-，
所以S=(ax2+bx)dx=（ax3+bx2）
=a•(-)3+b•(-)2
=•b3（1）…（4分）
又直线x+y=4与抛物线y=ax2+bx相切，
即它们有唯一的公共点
由方程组，
得ax2+（b+1）x-4=0，其判别式△必须为0，
即△=（b+1）2+16a=0，
于是a=-(b+1)2，…（8分）
代入（1）式得：S(b)=(b＞0)，
S′(b)=．
令S′（b）=0，在b＞0时，得b=3；
当0＜b＜3时，S′（b）＞0；
当b＞3时，S′（b）＜0．
故在b=3时，S（b）取得极大值，也是最大值，
即a=-1，b=3时，S取得最大值，且Smax=．…（12分） |
举一反三
已知椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为e=，P为椭圆上一动点．F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，且△PF1F2面积的最大值为．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线l与圆x2+y2=1相切且与椭圆C相交于A、B两点，求•的取值范围． |
| 若抛物线y2=-2px（p＞0）的焦点与双曲线-y2=1的左焦点重合，则p的值______． |
| 若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为______． |
直线y=kx+1（k∈R）与椭圆+=1恒有公共点，则m的取值范围是（ ）| A．[1，5）∪（5，+∞） | B．（0，5） | C．[1，+∞） | D．（1，5） |
|
已知椭圆M：+=1(a＞b＞0)，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（，1）在椭圆M上．直线l的斜率为，且与椭圆M交于B、C两点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值． |
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