已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),其短轴的一个端点到右焦点的距离为2,且点A(2,1)在椭圆M上.直线l的斜率为22,且与椭圆M交于B、C两点.
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已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),其短轴的一个端点到右焦点的距离为2,且点A(2,1)在椭圆M上.直线l的斜率为22,且与椭圆M交于B、C两点.
题型:昌平区一模
难度:
来源:
已知椭圆M:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,其短轴的一个端点到右焦点的距离为2,且点A(
2
,1)在椭圆M上.直线l的斜率为
2
2
,且与椭圆M交于B、C两点.
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)求△ABC面积的最大值.
答案
(Ⅰ)由题意知
2
a
2
+
1
b
2
=1
a=2
,解得
b=
2
.
故所求椭圆方程为
x
2
4
+
y
2
2
=1
;
(Ⅱ) 设直线l的方程为
y=
2
2
x+m
,则m≠0.
设B(x
1
,y
1
),C(x
2
,y
2
),
代入椭圆方程并化简得
x
2
+
2
mx+
m
2
-2=0
,
由△=2m
2
-4(m
2
-2)=2(4-m
2
)>0,可得0<m
2
<4①.
由①,得
x
1
=
-
2
m-
2(4-
m
2
)
2
,
x
2
=
-
2
m+
2(4-
m
2
)
2
,
故
|BC|=
1+(
2
2
)
2
|
x
1
-
x
2
|=
3
2
×
2(4-
m
2
)
=
3(4-
m
2
)
.
又点A到BC的距离为
d=
|2m|
6
,
故
S
△ABC
=
1
2
|BC|•d=
1
2
3(4-
m
2
)
×
|2m|
6
=
1
2
×
(4-
m
2
)
m
2
≤
1
2
×
m
2
+(4-
m
2
)
2
=
2
,
当且仅当m
2
=4-m
2
,即m=
±
2
时取等号,满足①式.
所以△ABC面积的最大值为
2
.
举一反三
已知抛物线C
1
:y
2
=4ax(a>0),椭圆C以原点为中心,以抛物线C
1
的焦点为右焦点,且长轴与短轴之比为
2
,过抛物线C
1
的焦点F作倾斜角为
π
4
的直线l,交椭圆C于一点P(点P在x轴上方),交抛物线C
1
于一点Q(点Q在x轴下方).
(1)求点P和Q的坐标;
(2)将点Q沿直线l向上移动到点Q′,使|QQ′|=4a,求过P和Q′且中心在原点,对称轴是坐标轴的双曲线的方程.
题型:不详
难度:
|
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过原点且倾斜角为30°的直线被圆x
2
+y
2
-4x=0所截得的弦长为( )
A.
3
B.2
C.
6
D.
2
3
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知抛物线C:x
2
=4y的焦点为F,直线l过点F交抛物线C于A、B两点.
(Ⅰ)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),求
1
y
1
+
1
y
2
的取值范围;
(Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF?证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C:y=x
2
+4x+
7
2
,过抛物线C上点M且与M处的切线垂直的直线称为抛物线C在点M的法线.
(1)若抛物线C在点M的法线的斜率为-
1
2
,求点M的坐标(x
0
,y
0
);
(2)设P(-2,4)为C对称轴上的一点,在C上一定存在点,使得C在该点的法线通过点P.试求出这些点,以及C在这些点的法线方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知椭圆
y
2
5
+
x
2
4
=1的上、下焦点分别为N、M,若动点P满足
MP
•
MN
=
|
PN
|
•|
MN
|
,
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点N作直线l与点P的轨迹C交于点A、B,分别以A、B为切点作曲线C的切线,其交点为Q,求
NQ
•
AB
的值.
题型:不详
难度:
|
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