已知直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1有A、B两个不同的交点．（1）如果以AB为直径的圆恰好过原点O，试求k的值；（2）是否存在k，使得两个不同的交点A、
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已知直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1有A、B两个不同的交点．
（1）如果以AB为直径的圆恰好过原点O，试求k的值；
（2）是否存在k，使得两个不同的交点A、B关于直线y=2x对称？试述理由． |
答案
（1）设A（x1，kx1+1），B（x2，kx2+1），则以AB为直径的圆恰好过原点O的充要条件是AO⊥BO，
∴x1x2+（kx1+1）（kx2+1）=0，即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0…①
由消去y得 （3-k2）x2-2kx-2=0…②∴
将其代入①得++1=0，解得k=1或k=-1．
当k=1时，方程②为2x2-2x-2=0，有两个不等实根；
当k=-1时，方程②为x2+x-1=0，有两个不等实根．
故当k=1或k=-1时，以AB为直径的圆恰好过原点O．
（2）若A（x1，kx1+1），B（x2，kx2+1）关于直线y=2x对称，
则 | | k=- | | (kx1+1)+(kx2+1)=2(x1+x2) |
| |
将④整理得（k-2）（x1+x2）+2=0．
因为x1+x2=，所以+2=0，解之，得k=．这个结果与③矛盾．
故不存在这样的k，使两点A、B关于直线y=2x对称． |
举一反三
已知抛物线x2=4y及定点P（0，8），A、B是抛物线上的两动点，且=λ(λ＞0)．过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（Ⅰ）证明：点M的纵坐标为定值；
（Ⅱ）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动，都有∠AQP=∠BQP？证明你的结论． |
已知椭圆C：+=1(a＞b＞0)的焦点分别是F1，F2，点M(1 ，)在椭圆上，且|MF1|+|MF2|=4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+t（k≠0，t＞0）与椭圆C：+=1交于A，B两点，点P满足+=，点Q的坐标是(0 ，)，设直线PQ的斜率是k1，且k1•k=2，求实数t的取值范围． |
| 已知实数p＞0，直线3x-4y+2p=0与抛物线x2=2py和圆x2+(y-)2=从左到右的交点依次为A、B、C、D，则的值为______． |
| 直线l与椭圆+=1(a＞b＞0)交于不同的两点M，N，过点M，N作x轴的垂线，垂足恰好是椭圆的两个焦点，已知椭圆的离心率是，直线l的斜率存在且不为0，那么直线l的斜率是______． |
已知抛物线C：x2=ay（a＞0），斜率为k的直线l经过抛物线的焦点F，交抛物线于A，B两点，且抛物线上一点M(2 ， m) (m＞1)到点F的距离是3．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若k＞0，且=3，求k的值．
（Ⅲ）过A，B两点分别作抛物线的切线，这两条切线的交点为点Q，求证： • =0． |
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