已知椭圆x24+y2=1的焦点为F1、F2,抛物线y2=px(p>0)与椭圆在第一象限的交点为Q,若∠F1QF2=60°.(1)求△F1QF2的面积;(2)求此
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已知椭圆x24+y2=1的焦点为F1、F2,抛物线y2=px(p>0)与椭圆在第一象限的交点为Q,若∠F1QF2=60°.(1)求△F1QF2的面积;(2)求此
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
x
2
4
+
y
2
=1
的焦点为F
1
、F
2
,抛物线y
2
=px(p>0)与椭圆在第一象限的交点为Q,若∠F
1
QF
2
=60°.
(1)求△F
1
QF
2
的面积;
(2)求此抛物线的方程.
答案
(1)∵Q在椭圆上,
∴|QF
1
|+|QF
2
|=4,
∴
|Q
F
1
|
2
+2|Q
F
1
||Q
F
2
|+
|Q
F
2
|
2
=16,…①
在△QF
1
F
2
中,∵∠F
1
QF
2
=60°,
∴
|Q
F
1
|
2
+|Q
F
2
|
2
-2|Q
F
1
||Q
F
2
|cos60°=|
F
1
F
2
|
2
=12
…②
①-②,得:
|Q
F
1
||Q
F
2
|=
4
3
,
∴
S
△Q
F
1
F
2
=
1
2
|Q
F
1
||Q
F
2
|sin60°=
3
3
.
(2)设Q(x
0
,y
0
),(x
0
>0,y
0
>0)
由(1)知,
S
△Q
F
1
F
2
=
1
2
|
F
1
F
2
|
y
0
=
3
3
,
∵|F
1
F
2
|=2c=2
4-1
=2
3
,
∴
3
y
0
=
3
3
,
故
y
0
=
1
3
,
又Q点在椭圆上,所以
x
20
4
+
1
9
=1
,
即
x
0
=
4
2
3
,
故
Q(
4
2
3
,
1
3
)
.
又Q点在抛物线上,
所以
(
1
3
)
2
=p×
4
2
3
,
∴
p=
2
24
,
所以抛物线方程为
y
2
=
2
24
x
.
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,点P到两点
(0,-
3
)
,
(0,
3
)
的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.
(1)写出C的方程;
(2)设直线y=kx+1与C交于A、B两点,k为何值时
OA
⊥
OB
?
题型:不详
难度:
|
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曲线
y
2
9
-
x|x|
4
=1
与直线y=x+3的交点个数是______.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1 (a>0,b>0)
的离心率为
3
,若它的一条准线与抛物线y
2
=4x的准线重合.设双曲线与抛物线的一个交点为P,抛物线的焦点为F,则|PF|=______.
题型:不详
难度:
|
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已知直线y=kx+1与双曲线3x
2
-y
2
=1有A、B两个不同的交点.
(1)如果以AB为直径的圆恰好过原点O,试求k的值;
(2)是否存在k,使得两个不同的交点A、B关于直线y=2x对称?试述理由.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线x
2
=4y及定点P(0,8),A、B是抛物线上的两动点,且
AP
=λ
PB
(λ>0)
.过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.
(Ⅰ)证明:点M的纵坐标为定值;
(Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB怎样运动,都有∠AQP=∠BQP?证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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