在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-3),(0,3)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.(1)写出C的方程;(2)设直线y=kx+1与C交于A、B两点,
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在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-3),(0,3)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.(1)写出C的方程;(2)设直线y=kx+1与C交于A、B两点,
题型:不详
难度:
来源:
在平面直角坐标系xOy中,点P到两点
(0,-
3
)
,
(0,
3
)
的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.
(1)写出C的方程;
(2)设直线y=kx+1与C交于A、B两点,k为何值时
OA
⊥
OB
?
答案
(1)由条件知:P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆,
其中
c=
3
,a=2
,所以b
2
=a
2
-c
2
=
4-(
3
)
2
=1.
故轨迹C的方程为:
y
2
4
+
x
2
=1
;
(2)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
由
y=kx+1
y
2
4
+
x
2
=1
⇒(kx+1)
2
+4x
2
=4,即(k
2
+4)x
2
+2kx-3=0
由△=16k
2
+48>0,可得:
x
1
+
x
2
=-
2k
k
2
+4
x
1
x
2
=-
3
k
2
+4
,
再由
OA
⊥
OB
⇔
OA
•
OB
=0⇔
x
1
x
2
+
y
1
y
2
=0
,
即(k
2
+1)x
1
x
2
+k(x
1
+x
2
)+1=0,
所以
-3(
k
2
+1)
k
2
+4
-
2
k
2
k
2
+4
+1=0
,
k
2
=
1
4
⇒k=±
1
2
.
举一反三
曲线
y
2
9
-
x|x|
4
=1
与直线y=x+3的交点个数是______.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1 (a>0,b>0)
的离心率为
3
,若它的一条准线与抛物线y
2
=4x的准线重合.设双曲线与抛物线的一个交点为P,抛物线的焦点为F,则|PF|=______.
题型:不详
难度:
|
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已知直线y=kx+1与双曲线3x
2
-y
2
=1有A、B两个不同的交点.
(1)如果以AB为直径的圆恰好过原点O,试求k的值;
(2)是否存在k,使得两个不同的交点A、B关于直线y=2x对称?试述理由.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线x
2
=4y及定点P(0,8),A、B是抛物线上的两动点,且
AP
=λ
PB
(λ>0)
.过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.
(Ⅰ)证明:点M的纵坐标为定值;
(Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB怎样运动,都有∠AQP=∠BQP?证明你的结论.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的焦点分别是F
1
,F
2
,点
M(1 ,
3
2
)
在椭圆上,且|MF
1
|+|MF
2
|=4.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+t(k≠0,t>0)与椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
交于A,B两点,点P满足
AP
+
BP
=
0
,点Q的坐标是
(0 ,
3
2
)
,设直线PQ的斜率是k
1
,且k
1
•k=2,求实数t的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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