已知椭圆C：x28+y24=1的左焦点为F1，直线l：y=x-2与椭圆C交于A、B两点．（1）求线段AB的长；（2）求△ABF1的面积．

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：

x2

8

+

y2

4

=1的左焦点为F₁，直线l：y=x-2与椭圆C交于A、B两点．
（1）求线段AB的长；
（2）求△ABF₁的面积．

答案

（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
因为

x2

8

+

y2

4

=1和y=x-2相交，把两个方程联立，得

x2+2y2-8=0 y=x-2

代入得到x²+2（x-2）²-8=0，即3x²-8x=0，解得x1=0，x2=

8

3

所以y1=-2，y2=

2

3

，
所以|AB|=

(0- 8 3 )2+(-2- 2 3 )2

=

8

3

2

（2）法一：因为点F₁（-2，0）到直线y=x-2的距离为d=

|-2-2|

1+1

=2

2

所以S△ABF1=

1

2

|AB|•d=

1

2

•

8 2

3

•2

2

=

16

3

法二：直线y=x-2通过椭圆的右焦点F₂（2，0），
则△ABF₂的面积为S△ABF1=

1

2

|F1F2|(|y1|+|y2|)=

1

2

×4×(2+

2

3

)=

16

3