过点(1,12)作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B.若直线AB恰好经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点和上顶点,则椭圆方程为______.
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过点(1,12)作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B.若直线AB恰好经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点和上顶点,则椭圆方程为______.
题型:不详
难度:
来源:
过点
(1,
1
2
)
作圆x
2
+y
2
=1的切线,切点分别为A,B.若直线AB恰好经过椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
的焦点和上顶点,则椭圆方程为______.
答案
方法一:设点P
(1,
1
2
)
,O(0,0).则以线段OP为直径的圆的方程为:
(x-
1
2
)
2
+(y-
1
4
)
2
=
5
16
.与方程x
2
+y
2
=1相减得
x+
1
2
y=1
.
令x=0,得y=2;令y=0,得x=1.
∴焦点为(1,0),上顶点为(0,2).
∴c=1,b=2.a
2
=b
2
+c
2
=5.
∴椭圆的方程为
x
2
5
+
y
2
4
=1
.
方法二:易知直线x=1是圆的一条切线,切点为A(1,0);
设另一条切线的斜率为k,则切线方程为
y-
1
2
=k(x-1)
,化为2kx-2y+1-2k=0,则
|1-2k|
4
k
2
+4
=1
,解得
k=-
3
4
,得切线方程为3x+4y-5=0.
联立
3x+4y-5=0
x
2
+
y
2
=1
解得切点B
(
3
5
,
4
5
)
.
∴直线AB的方程为:2x+y-2=0.以下同方法一.
举一反三
已知椭圆
x
2
16
+
y
2
4
=1的左、右顶点分别为A、B,曲线E是以椭圆中心为顶点,B为焦点的抛物线.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)直线l:y=
k
(x-2)与曲线E交于不同的两点M、N,当
AM
•
AN
≥68时,求直线l的倾斜角θ的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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过椭圆2x
2
+y
2
=4上点P作x轴的垂线PD,D为垂足,则点P在椭圆上运动时,线段PD中点M的轨迹方程是______.
题型:不详
难度:
|
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直线y=x-4与抛物线y
2
=4x交于A、B两点,F为抛物线的焦点,求△ABF的面积.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C的准线为x=
-
p
4
(p>0),顶点在原点,抛物线C与直线l:y=x-1相交所得弦的长为3
2
,求p的值和抛物线方程.
题型:不详
难度:
|
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若直线l被圆C:x
2
+y
2
=2所截的弦长不小于2,则l与下列曲线一定有公共点的是( )
A.(x-1)
2
+y
2
=1
B.
x
2
2
+y
2
=1
C.y=x
2
D.x
2
-y
2
=1
题型:河南模拟
难度:
|
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