已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与x轴交于点M,(1)若M点的坐标为(-1,0),求抛物线的方程;(2)过点M的直线l与抛物线交于两点P、Q,若FP•FQ

已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与x轴交于点M,(1)若M点的坐标为(-1,0),求抛物线的方程;(2)过点M的直线l与抛物线交于两点P、Q,若FP•FQ

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已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与x轴交于点M,
(1)若M点的坐标为(-1,0),求抛物线的方程;
(2)过点M的直线l与抛物线交于两点P、Q,若


FP


FQ
=0
(其中F是抛物线的焦点),求证:直线l的斜率为定值.
答案
(1)-
p
2
=-1
,∴p=2,
∴抛物线方程为y2=4x;
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2)l的斜率为k.


FP


FQ
=0

(x1-
p
2
y1)•(x2-
p
2
y2)=0
x1x2-
p
2
(x1+x2)+
p2
4
+y 1y2=0
,①
l的方程为y=k(x+
P
2
)
,联立y2=2px,得k2x2+(pk2-2p)x+
k2p2
4
=0

x1+x2=
2p-pk2
k2
x1x 2=
p2
4
.

y1y2=k2[x1x2+
p
2
(x1+x2)+
p2
4
].

联立①②③得k=±


2
2
.

经检验,k=±


2
2
时,l与抛物线交于两个点.
举一反三
动圆与定圆:A:(x+2)2+y2=1外切,且和直线x=l相切,则动圆圆心的轨迹是(  )
A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线
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与椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
具有相同的离心率且过点(2,-


3
)的椭圆的标准方程是______.
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斜率为2的直线l经过抛物线x2=8y的焦点,且与抛物线相交于A,B两点,则线段AB的长为(  )
A.8B.16C.32D.40
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已知动点P与平面上两定点A(-1,0),B(1,0)连线的斜率的积为定值-2.
(1)试求动点P的轨迹方程C.
(2)设直线l:y=x+1与曲线C交于M、N两点,求|MN|
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设斜率为k1的直线L交椭圆C:
x2
2
+y2=1
于A、B两点,点M为弦AB的中点,直线OM的斜率为k2(其中O为坐标原点,假设k1、k2都存在).
(1)求k1⋅k2的值.
(2)把上述椭圆C一般化为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),其它条件不变,试猜想k1与k2关系(不需要证明).请你给出在双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)中相类似的结论,并证明你的结论.
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