已知:圆O1过点(0,1),并且与直线y=-l相切,则圆O1的轨迹为C,过一点A(l,1)作直线l,直线l与曲线C交于不同两点M、N,分别在M、N两点处作曲线C
题型:不详难度:来源:
已知:圆O1过点(0,1),并且与直线y=-l相切,则圆O1的轨迹为C,过一点A(l,1)作直线l,直线l与曲线C交于不同两点M、N,分别在M、N两点处作曲线C的切线l1,l2,直线l1,l2的交点为K. (I)求曲线C的轨迹方程; (Ⅱ)求证:直线l1,l2的交点K在一条直线上,并求出此直线方程. |
答案
(Ⅰ)由题意和抛物线的定义可得:曲线C的轨迹是抛物线:x2=4y. (Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2), 直线MN的方程为:y-1=k(x-1). 由x2=4y,得到y′=, ∴过点M处的切线方程为y-y1=(x-x1),化为x1x=2(y+y1), 同理在点N处的切线方程为x2x=2(y+y2), 解得K点的坐标为(,). 联立得到x2-4kx+4k-4=0, ∴x1+x2=4k,x1x2=4k-4. ∴xK=2k,yk=k-1, 消去k得到点K所在的直线方程为:x-2y-2=0. |
举一反三
过点(0,-3)的直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点,则直线l的方程为( )A.x=0或x+3y+9=0 | B.y=-3或x+3y+9=0 | C.x=0或y=-3 | D.x=0或y=-3或x+3y+9=0 |
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过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点作一条渐近线的垂线,垂足恰好落在曲线+=1上,则双曲线的离心率为______. |
已知双曲线C:-y2=1和定点P(2,). (1)求过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线方程; (2)双曲线C上是否存在A,B两点,使得=(+)成立?若存在,求出直线AB的方程;若不存在,说明理由. |
倾斜角为60°的直线与抛物线x2=2py(p>0)交于A、B,且A、B两点的横坐标之和为3,则抛物线的方程为______. |
直线y=2x-与曲线(φ为参数)的交点坐标是______. |
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