经过点F (0,1)且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹M上,且关于y轴对称,过线段AD (两端点除外)上的任意一点作直线l,使直线l与轨迹M

经过点F (0,1)且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹M上,且关于y轴对称,过线段AD (两端点除外)上的任意一点作直线l,使直线l与轨迹M

题型:广州二模难度:来源:
经过点F (0,1)且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M点A、D在轨迹M上,且关于y轴对称,过线段AD (两端点除外)上的任意一点作直线l,使直线l与轨迹M 在点D处的切线平行,设直线l与轨迹M交于点B、C.
(1)求轨迹M的方程;
(2)证明:∠BAD=∠CAD;
(3)若点D到直线AB的距离等于


2
2
|AD|
,且△ABC的面积为20,求直线BC的方程.
答案
(1)设圆心坐标为(x,y),由题意动圆经过定点F(0,1),且与定直线:y=-1相切,
所以


x2+(y-1)2
=|y+1|,
即(y-1)2+x2=(y+1)2
即x2=4y.故轨迹M的方程为x2=4y.
(2)由(1)得y=
1
4
x2,∴y′=
1
2
x,
设D(x0
1
4
x20
),由导数的几何意义 得直线l的斜率为kBC=
1
2
x0

则A(-x0
1
4
x20
),设C(x1
1
4
x21
),B(x2
1
4
x22
).
则kBC=
1
4
x21
-
1
4
x22
x1-x2
=
x1+x2
4
=
1
2
x0,∴x1+x2=2x0
kAC=
1
4
x21
-
1
4
x20
x1+x0
=
x1-x0
4
,kAB=
x2-x0
4

∴kBC+AB=
x1-x0
4
+
x2-x0
4
=
x1+x2-2x0
4
=0,∴kAB=-kBC
∴∠BAD=∠CAD.
(3)点D到直线AB的距离等于


2
2
|AD|
,可知∠BAD=45°,
不妨设C在AD上方,即x2<x1,直线AB的方程为:y-
1
4
x20
=-(x+x0),与x2=-4y联立方程组,
解得B点的坐标为(x0-4,
1
4
(x0-4)2
),∴|AB|=


2
|x0-4-(-x0)|=2


2
|x0-2|
由(2)知,∠CAD=∠BAD=45°,同理可得|AC|=2


2
|x0+2|.
∴△ABC的面积为
1
2
×2


2
|x0+2|×2


2
|x0-2|=20.
解得x0=±3.
当x0=3时,B((-1,
1
4
),KBC=
3
2
,直线BC的方程为6x-4y+7=0;
当x0=-3时,B((-7,
49
4
),KBC=-
3
2
,直线BC的方程为6x+4y-7=0;
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1为到定点F(


3
2
1
2
)
的距离与到定直线l1


3
x+y+2=0
的距离相等的动点P的轨迹,曲线C2是由曲线C1绕坐标原点O按顺时针方向旋转30°形成的.
(1)求曲线C1与坐标轴的交点坐标,以及曲线C2的方程;
(2)过定点M0(m,0)(m>2)的直线l2交曲线C2于A、B两点,已知曲线C2上存在不同的两点C、D关于直线l2对称.问:弦长|CD|是否存在最大值?若存在,求其最大值;若不存在,请说明理由.
题型:闸北区二模难度:| 查看答案
椭圆C的中心在原点,并以双曲线
y2
4
-
x2
2
=1
的焦点为焦点,以抛物线x2=-6


6
y
的准线到原点的距离为
a2
c

(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=kx+2(k≠0)与椭圆C相交于A、B两点,使A、B两点关于直线l′:y=mx+1(m≠0)对称,求k的值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合,曲线C1ρcos(θ+
π
4
)=2


2
与曲线C2





x=4t2
y=4t
(t∈R)交于A、B两点.求证:OA⊥OB.
题型:南通模拟难度:| 查看答案
F1,F2分别为椭圆
x2
2
+y2=1
的左右焦点,点P(x,y)在直线x+y-2=0上(x≠2且x≠±1),直线PF1,PF2的斜率分别为k1、k2,则
1
k1
-
3
k2
的值为(  )
A.2B.
3
2
C.-


2
D.-2
题型:不详难度:| 查看答案
中心在原点,焦点在x轴上的双曲线C1的离心率为e,直线l与双曲线C1交于A,B两点,线段AB中点M在一象限且在抛物线y2=2px(p>0)上,且M到抛物线焦点的距离为p,则l的斜率为(  )
A.
e2-1
2
B.e2-1C.
e2+1
2
D.e2+1
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.