已知两定点E(-2,0),F(2,0),动点P满足PE•PF=0,由点P向x轴作垂线PQ,垂足为Q,点M满足PQ=2MQ,点M的轨迹为C.(Ⅰ)求曲线C的方程;

已知两定点E(-2,0),F(2,0),动点P满足PE•PF=0,由点P向x轴作垂线PQ,垂足为Q,点M满足PQ=2MQ,点M的轨迹为C.(Ⅰ)求曲线C的方程;

题型:不详难度:来源:
已知两定点E(-


2
,0),F(


2
,0),动点P满足


PE


PF
=0,由点P向x轴作垂线PQ,垂足为Q,点M满足


PQ
=


2


MQ
,点M的轨迹为C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)若直线l交曲线C于A、B两点,且坐标原点O到直线l的距离为


2
2
,求|AB|的最大值及对应的直线l的方程.
答案
(Ⅰ)∵动点P满足


PE


PF
=0,∴点P的轨迹方程为x2+y2=2.
设M(x,y),依题意可得P(x,


2
y)
代入P满足的方程可得x2+(


2
y)2=2,即曲线C:
x2
2
+y2=1.…(4分)
(Ⅱ)①若直线l垂直于x轴,此时|AB|=


3
.   …(5分)
②若直线l不垂直于x轴,设直线l的方程为y=kx+m,
则原点O到直线l的距离为
|m|


1+k2
=


2
2
,整理可得2m2=1+k2.…(6分)





y=kx+m
x2
2
+y2=1
消去y可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可得△>0,
则x1+x2=-
4km
1+2k2
,x1x2=
2(m2-1)
1+2k2

∴|AB|=


1+k2


(x1+x2)2-4x1x2
=2


2


(1+k2)(1+2k2-m2)
1+2k2
…(8分)
∵2m2=1+k2
∴2(1+k2)(1+2k2-m2)=(1+k2)(2+4k2-2m2)=(1+k2)(1+3k2)≤(1+2k22
等号当且仅当1+k2=1+3k2,即k=0时成立.
即2


2


(1+k2)(1+2k2-m2)
1+2k2
≤2,
所以k=0时,|AB|取得最大值2.
此时直线l的方程为y=±


2
2
.…(12分)
举一反三
过双曲线x2-
y2
2
=1
的右焦点作直线交双曲线于A,B两点,且|AB|=4,则这样的直线有______条.
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当a∈(0,π]时,方程x2sina-y2cosa=1表示的曲线可能是______.(填上你认为正确的序号)
①圆;②两条平行线;③椭圆;④双曲线;⑤抛物线.
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若不论k为何值,直线y=k(x-2)+b与曲线x2-y2=1总有公共点,则b的取值范围是(  )
A.(-


3


3
)
B.[-


3


3
]
C.(-2,2)D.[-2,2]
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已知F1、F2是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦点,A(0,b),连接AF1并延长交椭圆C于B点,若


AF1
=
3
2


F1B


AB


AF2
=5

(1)求椭圆C的方程;
(2)设P是直线x=5上的一点,直线PF2交椭圆C于D、E两点,是否存在这样的点P,使得


AD


AE
?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
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已知直线l的倾斜角为
3
,它与抛物线y2=2px(p>0)相交于A,B两点,F为抛物线的焦点,若


AF


FB
(λ>1),则λ的值为______.
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