椭圆X225+Y29=1上不同三点A(x1,y1),B(4,95),C(x2,y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列.(1)求证x1+x2=8;(2)若线段的
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椭圆X225+Y29=1上不同三点A(x1,y1),B(4,95),C(x2,y2)与焦点F(4,0)的距离成等差数列.(1)求证x1+x2=8;(2)若线段的
题型:不详
难度:
来源:
椭圆
X
2
25
+
Y
2
9
=1
上不同三点
A(
x
1
,
y
1
),B(4,
9
5
),C(
x
2
,
y
2
)
与焦点F(4,0)的距离成等差数列.
(1)求证x
1
+x
2
=8;
(2)若线段的垂直平分线与轴的交点为,求直线的斜率.
答案
(1)证明:由椭圆方程知a=5,b=4,c=3.
由圆锥曲线的统一定义知:
|AF|
a
2
c
-
x
1
=
c
a
,
∴|AF|=a-ex
1
=5-
4
5
x
1
. 同理|CF|=5-
4
5
x
2
.
∵|AF|+|CF|=2|BF|,且|BF|=
9
5
,
∴(5-
4
5
x
1
)+(5-
4
5
x
2
)=
18
5
,即x
1
+x
2
=8.
(2)因为线段AC的中点为(4,
y
1
+
y
2
2
),所以它的垂直平分线方程为
y-
y
1
+
y
2
2
=
x
1
-
x
2
y
1
-
y
2
(x-4)
又∵点T在x轴上,设其坐标为(x
0
,0),代入上式x
0
-4=
y
21
-
y
22
2(
x
1
-
x
2
)
,
又∵点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),都在椭圆上,
∴y
2
2
=
9
25
(25-x
2
2
)
∴y
1
2
-y
2
2
=-
9
25
(x
1
+x
2
)(x
1
-x
2
).
将此式代入①,并利用x
1
+x
2
=8的结论得x0-4=-
36
25
,K
BT
=
9
5
-0
4-
x
0
=
5
4
.
举一反三
抛物线y
2
=2px(p>0)与双曲线x
2
-y
2
=1相交的一个交点为M,双曲线的两焦点分别为F
1
、F
2
,若
M
F
1
•M
F
2
=
5
4
,
(I)证明:M点在F
1
、F
2
为焦点的椭圆上;
(II)求抛物线方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
点P是椭圆16x
2
+25y
2
=1600上一点,F
1
、F
2
是椭圆的两个焦点,又知点P在x轴上方,F
2
为椭圆的右焦点,直线PF
2
的斜率为
-4
3
:求△PF
1
F
2
的面积.
题型:不详
难度:
|
查看答案
若直线x-y=1与椭圆
x
2
3
+
y
2
2
=1
交于A、B两点,则线段AB的中点坐标是______.
题型:不详
难度:
|
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已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的一条渐近线方程是
y=
3
x
,它的一个焦点在抛物线y
2
=24x的准线上,
(1)求双曲线的焦点坐标;
(2)求双曲线的标准方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知抛物线方程为y
2
=2x,在y轴上截距为2的直线l与抛物线交于M、N两点,O为坐标原点,若OM⊥ON,求直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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