证明:椭圆x24+y23=1与直线y=kx+2至多有一个交点的充要条件是______.
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证明:椭圆x24+y23=1与直线y=kx+2至多有一个交点的充要条件是______.
题型:不详
难度:
来源:
证明:椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=1
与直线y=kx+2至多有一个交点的充要条件是______.
答案
证明:由方程组
y=kx+2
x
2
4
+
y
2
3
=1
得(3+4k
2
)x
2
+16kx+4=0,
∴△=256k
2
-16(3+4k
2
)=48(4k
2
-1)
充分性:当
k∈[-
1
2
,
1
2
]
时,△≤0,∴椭圆与直线至多有一个交点;
必要性:∵椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=1
与直线y=kx+2至多有一个交点,
∴△≤0,∴48(4k
2
-1)≤0,解得
-
1
2
≤k≤
1
2
所以椭圆
x
2
4
+
y
2
3
=1
与直线y=kx+2至多有一个交点的充要条件是
k∈[-
1
2
,
1
2
]
.
故答案为
k∈[-
1
2
,
1
2
]
举一反三
为响应政府“还家乡青山绿水,走生态发展之路”的号召,某县两村F
1
、F
2
准备种植围绕村庄的防护林,如图,在与两个村同一条直线上有两个机井A
1
,A
2
,两村在两个机井之间,每个村到两机井的距离都分别为3千米与1千米,根据现有地理特点,两村拟定每个种植点距两村距离和等于两机井间距离.
(Ⅰ)请你利用所学知识,建立适当的平面直角坐标系,求出种植点所在的曲线方程;
(Ⅱ)已知过F
2
村有一条小路l,且斜率为1,试求在小路l上的两个种植点间距离.
题型:不详
难度:
|
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设椭圆 C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的一个顶点与抛物线 C
2
:
x
2
=4
3
y
的焦点重合,F
1
,F
2
分别是椭圆的左、右焦点,离心率
e=
1
2
,过椭圆右焦点 F
2
的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)是否存在直线 l,使得
OM
•
ON
=-2
,若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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已知F
1
,F
2
是椭圆
x
2
a
2
+
y2
b
2
=1(a>b>0)的两个焦点,O为坐标原点,点P(-1,
2
2
)在椭圆上,且
P
F
1
•
F
1
F
2
=0,⊙O是以F
1
F
2
为直径的圆,直线l:y=kx+m与⊙O相切,并且与椭圆交于不同的两点A,B
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当
OA
•
OB
=λ,且满足
2
3
≤λ≤
3
4
时,求弦长|AB|的取值范围.
题型:不详
难度:
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椭圆
x
2
6
+
y
2
2
=1和双曲线
x
2
3
-y
2
=1的公共焦点为F
1
、F
2
,P是两曲线的一个交点,那么cos∠F
1
PF
2
的值是______.
题型:不详
难度:
|
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过抛物线y
2
=4x的焦点,作倾斜角为
π
4
的直线交抛物线于P、Q两点,O为坐标原点,则△POQ的面积为______.
题型:不详
难度:
|
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