(本小题满分12分)已知函数,若,则称为的“不动点”;若,则称为的“稳定点”。记集合(1)已知,若是在上单调递增函数,是否有?若是,请证明。(2)记表示集合中元
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(本小题满分12分)已知函数,若,则称为的“不动点”;若,则称为的“稳定点”。记集合(1)已知,若是在上单调递增函数,是否有?若是,请证明。(2)记表示集合中元
题型:解答题
难度:简单
来源:不详
(本小题满分12分)
已知函数
,若
,则称
为
的“不动点”;若
,则称
为
的“稳定点”。记集合
(1)已知
,若
是在
上单调递增函数,是否有
?若是,请证明。
(2)记
表示集合
中元素的个数,问:
若函数
,若
,则
是否等于0?若是,请证明
若
,试问:
是否一定等于1?若是,请证明
答案
(1)
(2)
,
是不一定等于1。
解析
试题分析:(1)证明:先证 任取
,则
再证 任取
若
,不妨设
由单调递增可知:
与
矛盾
同理
也矛盾,所以
综上:
(2)①若
由于
无实根 则对任意实数x,
从而
故
无实根
同理若
对任意实数x,
,从而
故
也无实根
②不妨设
是B中唯一元素 则
令
那么
而
故
说明t也是
的不动点
由于
只有唯一的不动点 故
即
这说明t也是
的不动点,从而存在性得证
以下证明唯一性:若
还有另外一个不动点m,即
则
这说明
还有另外一个稳定点m
与题设矛盾。
点评:结合新定义,和已学的函数单调性的性质,来分析函数的最值, 同时对于不动点的问题,要加以转化为方程根的问题来处理,属于中档题。
举一反三
已知集合
,
是函数
的定义域,则
A.
=
B.
C.
D.
Æ
题型:单选题
难度:简单
|
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(本小题满分12分)
函数
的定义域为集合
,
,
.
(Ⅰ)求集合
及
;
(Ⅱ)若
,求
的取值范围.
题型:解答题
难度:简单
|
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已知集合
,
,则
为 ( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
设全集
,
则
( )
A.
B.
C.
D.
题型:单选题
难度:简单
|
查看答案
若集合P={1,2,3,4},Q={x|0<x<5,x ∈R},则( )
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C.“x∈P”是“x∈Q”的充要条件
D.“x∈P”既不是“x∈Q”的充分条件也不是“x∈Q”的必要条件
题型:单选题
难度:简单
|
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