已知F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,点B与点A关于原点对称,AF2-F1F2=0,若椭圆的离心

已知F1、F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,点B与点A关于原点对称,AF2-F1F2=0,若椭圆的离心

题型:湖南模拟难度:来源:
已知F1、F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点,点B与点A关于原点对称,AF2-F1F2=0,若椭圆的离心率等于


2
2

(Ⅰ)求直线AB的方程;
(Ⅱ)若△ABF2的面积等于4


2
,求椭圆的方程;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,椭圆上是否存在点M使得△MA的面积等于8


3
?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.
答案
(Ⅰ)由
.
AF2
-
.
F1F2
=0
知AF2⊥F1F2
∵椭圆离心率等于


2
2
,所以c=


2
2
a,b2=
1
2
a2,故椭圆方程可以写成x2+2y2=a2
设A(c,yA),代入方程得yA=
1
2
a,所以A(


2
2
a,
1
2
a),
故直线AB的斜率k=


2
2
,因此直线AB的方程为y=


2
2
x
(4分)
(Ⅱ)连接AF1、BF1,由椭圆的对称性可知S△AEF1=S△ABF1=S△AF1F2
所以
1
2
-2c-
1
2
a=4


2
解得a2=16,b2=8
故椭圆方程为
x2
16
+
y2
8
=1
(8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)可以求得|AB|=2|OA|=2


(2


2
)
2
+22
=4


3

假设在椭圆上存在点M使得△MAB的面积等于8


3
,设点M到直线AB的距离为d,则应有
1
2
-4


3
•d=8


3
,所以d=4
设M所在直线方程为


2
x-2y±4


6
=0与椭圆方程联立消去x得方程4y2±8


6
y+32=0
即y2±2


6
y+8=0,∵△=(±2


6
2-4×8<0故在椭圆上不存在点M使得△MAB的面积等于8


3
(14分)
举一反三
已知双曲线过点(3,-2),且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.
(Ⅰ)求双曲线的标准方程;    
(Ⅱ)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程.
题型:不详难度:| 查看答案
过点M(-2,0)做直线l交双曲线x2-y2=1于A、B两点,若O为坐标原点,是否存在∠AOB=90°的直线l,若存在,求出l的方程,若不存在,说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
设实数x,y同时满足条件:4x2-9y2=36,且xy<0.
(1)求函数y=f(x)的解析式和定义域;
(2)判断函数y=f(x)的奇偶性;
(3)若方程f(x)=k(x-1)(k∈R)恰有两个不同的实数根,求k的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
过点P(4,4)且与双曲线
x2
16
-
y2
9
=1只有一个公共点的直线有______条.
题型:不详难度:| 查看答案
已知命题:椭圆
x2
25
+
y2
9
=1
与双曲线
x2
11
-
y2
5
=1
的焦距相等.试将此命题推广到一般情形,使已知命题成为推广后命题的一个特例:______.
题型:静安区二模难度:| 查看答案
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