已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,右焦点为F,点O为坐标原点,直线l:x=a2c与x轴交于点B,且与一条渐近线交于点C,又OA=2
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已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,右焦点为F,点O为坐标原点,直线l:x=a2c与x轴交于点B,且与一条渐近线交于点C,又OA=2
题型:不详
难度:
来源:
已知双曲线
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的右顶点为A,右焦点为F,点O为坐标原点,直线
l:x=
a
2
c
与x轴交于点B,且与一条渐近线交于点C,又
OA
=2
OB
,
OA
•
OC
=2
,过点F的直线m与双曲线右支交于点M,N,点P为点M关于x轴的对称点.
(1)求双曲线的方程;
(2)判断B,P,N三点是否共线,并说明理由;
(3)求三角形BMN面积的最小值.
答案
(1)∵
OA
=2
OB
,
OA
•
OC
=2
,
∴
a=2×
a
2
c
a×
a
2
c
=2
,∴a
2
=4,c=4
∴b
2
=c
2
-a
2
=12
∴双曲线的方程为
x
2
4
-
y
2
12
=1
;
(2)由(1)可知B(1,0),F(4,0),
由题意直线m的斜率不为0,所以设直线m的方程为x=ty+4,代入
x
2
4
-
y
2
12
=1
整理得(3t
2
-1)y
2
+24ty+36=0,
设M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),则P(x
1
,-y
1
).
由韦达定理知
y
1
+
y
2
=-
24t
3
t
2
-1
,
y
1
y
2
=
36
3
t
2
-1
,
所以
BP
=(
x
1
-1,-
y
1
),
BN
=(
x
2
-1,
y
2
)
.
因为(x
1
-1)y
2
-(x
2
-1)(-y
1
)=x
1
y
2
+x
2
y
1
-y
1
-y
2
=
2t
y
1
y
2
+3(
y
1
+
y
2
)=2t
36
3
t
2
-1
+3(-
24t
3
t
2
-1
)=0
∴向量
BP
,
BN
共线,所以B,P,N三点共线.
(3)因为直线m与双曲线右支交于点M,N,所以x
1
x
2
=(ty
1
+4)(ty
2
+4)>0,得
t
2
<
1
3
.
∴
S
△BMN
=
1
2
|BF||
y
1
-
y
2
|=
1
2
×3×
(
y
1
+
y
2
)
2
-4
y
1
y
2
=
6
3
3+3
t
2
1-3
t
2
,
令u=1-3t
2
,则u∈(0,1],
S
△BMN
=
6
3
4-u
u
=6
3
4
u
2
-
1
u
=6
3
4
(
1
u
-
1
8
)
2
-
1
16
,
又
1
u
∈[1,+∞)
,所以
1
u
=1
,即t=0时,三角形BMN面积的最小值18.
举一反三
已知直线y=x+b与抛物线y
2
=2x有两个不同的公共点A、B,O为坐标原点.
(1)求实数b的取值范围;
(2)当b=-2时,①求证OA⊥OB;②计算△AOB的面积.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线y=x
2
,求过点(-
1
2
,-2)且与抛物线相切的直线方程.
题型:不详
难度:
|
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已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=x
2
上的两点,求与直线PQ平行且与曲线相切的切线方程.
题型:不详
难度:
|
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若点M到定点F和到定直线l的距离相等,则下列说法正确的是______.
①点M的轨迹是抛物线;
②点M的轨迹是一条与x轴垂直的直线;
③点M的轨迹是抛物线或一条直线.
题型:不详
难度:
|
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已知定直线l及定点A(A不在l上),n为过点A且垂直于l的直线,设N为l上任意一点,线段AN的垂直平分线交n于B,点B关于AN的对称点为P,求证:点P的轨迹为抛物线.
题型:不详
难度:
|
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