已知定直线l及定点A(A不在l上),n为过点A且垂直于l的直线,设N为l上任意一点,线段AN的垂直平分线交n于B,点B关于AN的对称点为P,求证:点P的轨迹为抛
题型:不详难度:来源:
已知定直线l及定点A(A不在l上),n为过点A且垂直于l的直线,设N为l上任意一点,线段AN的垂直平分线交n于B,点B关于AN的对称点为P,求证:点P的轨迹为抛物线. |
答案
证明:如图所示,建立平面直角坐标系,并且连结PA,PN,NB. 由题意知PB垂直平分AN,且点B关于AN的对称点为P, ∴AN也垂直平分PB. ∴四边形PABN为菱形, ∴PA=PN. ∵AB⊥l,∴PN⊥l. 故点P符合抛物线上点的条件:到定点A的距离和到定直线l的距离相等, ∴点P的轨迹为抛物线. |
举一反三
已知平面内的一个动点P到直线l:x=的距离与到定点F(,0)的距离之比为,设动点P的轨迹为C,点A(1,) (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)若M为轨迹C上的动点,求线段MA中点N的轨迹方程; (3)过原点O的直线交轨迹为C于B,C,求△ABC面积最大值. |
已知双曲线C:-=1,抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴,焦点为双曲线的左焦点,则抛物线的标准方程是______. |
下列命题中假命题 是( )A.离心率为的双曲线的两条渐近线互相垂直 | B.过点(1,1)且与直线x-2y+=0垂直的直线方程是2x+y-3=0 | C.抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为1 | D.+=1的两条准线之间的距离为 |
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直线y=2x+5与曲线+=1的交点个数为______. |
已知离心率为e的曲线-=1,其右焦点与抛物线y2=16x的焦点重合,则e的值为______. |
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