已知抛物线y2=x+1,定点A(3,1),B为抛物线上任意一点,点P在线段AB上,且有BP:PA=1:2,当点B在抛物线上变动时,求点P的轨迹方程,并指出这个轨
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已知抛物线y2=x+1,定点A(3,1),B为抛物线上任意一点,点P在线段AB上,且有BP:PA=1:2,当点B在抛物线上变动时,求点P的轨迹方程,并指出这个轨迹为那种曲线. |
答案
设点B的坐标(X,Y),点P的坐标为(x,y),则 x==,y== ∴X=(x-1),(1)Y=(3y-1),(2) ∵点B在抛物线上,∴Y2=X+1, 将(1),(2)代入此方程,得 [(3y-1)]2=(x-1)+1 化简得3y2-2y-2x+1=0, 即x=y2-y+, 因此轨迹为抛物线 |
举一反三
k是任意实数,则方程kx2+y2=1表示的曲线不可能是( ) |
如图,直角梯形ABCD中,AD=3,AB=4,BC=,曲线DE上任一点到A、B两点距离之和都相等.(E与AB在一条直线上) (1)适当建立直角坐标系,求曲线DE的方程; (2)过C点能否作一条直线与曲线DE相交且以C为中点的弦?如果不能,请说明理由;如果能,请求出该弦所在直线的方程. |
过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点,若线段PF、FQ的长分别为p、q,则 +=______. |
已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,右焦点为F,点O为坐标原点,直线l:x=与x轴交于点B,且与一条渐近线交于点C,又=2,•=2,过点F的直线m与双曲线右支交于点M,N,点P为点M关于x轴的对称点. (1)求双曲线的方程; (2)判断B,P,N三点是否共线,并说明理由; (3)求三角形BMN面积的最小值. |
已知直线y=x+b与抛物线y2=2x有两个不同的公共点A、B,O为坐标原点. (1)求实数b的取值范围; (2)当b=-2时,①求证OA⊥OB;②计算△AOB的面积. |
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