已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的长轴长为22，离心率为e1=22，椭圆C2与C1有共同的短轴．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）若C2与直线l：

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的长轴长为2

2

，离心率为e1=

2

2

，椭圆C₂与C₁有共同的短轴．
（Ⅰ）求椭圆C₁的方程；
（Ⅱ）若C₂与直线l：x-y+2=0有两个不同的交点，求椭圆的离心率e₂的取值范围．

答案

（Ⅰ）由题意，

a= 2 c a = 2 2

，（2分）
所以c=1，b=1，（4分）
所以C₁的方程为：C1：

x2

2

+y2=1（6分）
（Ⅱ）椭圆C₂与C₁有共同的短轴，所以设C₂的方程为

x2

m

+y2=1(m＞1)，（8分）
联立方程：

y=x+2 x2 m +y2=1

得，(1+m)x2+4mx+3m=0，

△=4(m2-3m)＞0 m＞1

，（10分）
（没写m＞1的，扣1分）
所以m＞3，（12分）
而e2=

m-1 m

=

1- 1 m

，（13分）
所以e2=

1- 1 m

∈(

6

3

，1)．（14分）