已知长方形ABCD,AB=22,BC=33.以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy.(I)求以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆P的标准方程;(
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已知长方形ABCD,AB=22,BC=33.以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy.(I)求以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆P的标准方程;(
题型:不详
难度:
来源:
已知长方形ABCD,AB=2
2
,BC=
3
3
.以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
(I)求以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆P的标准方程;
(Ⅱ)已知定点E(-1,0),直线y=kx+t与椭圆P交于M、N相异两点,证明:对作意的t>0,都存在实数k,使得以线段MN为直径的圆过E点.
答案
(Ⅰ)由题意可得点A,B,C的坐标分别为
(-
2
,0)
,
(
2
,0)
,
(
2
,
3
3
)
设椭圆的标准方程是
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,
则2a=AC+BC=
2
3
>2
,∴
a=
3
.
又c=
2
,
∴b
2
=a
2
-c
2
=1.
∴椭圆的标准方程是
x
2
3
+
y
2
=1
.
(Ⅱ)将y=kx+t代入椭圆方程,得(1+3k
2
)x
2
+6ktx+3t
2
-3=0,
由直线与椭圆有两个交点,所以△=(6kt)
2
-12(1+3k
2
)(t
2
-1)>0,解得
k
2
>
t
2
-1
3
.
设M(x
1
,y
1
)、N(x
2
,y
2
),则
x
1
+x
2
=-
6kt
1+3
k
2
,
x
1
•
x
2
=
3(
t
2
-1)
1+3
k
2
,
∵以MN为直径的圆过E点,∴
EM
•
EN
=0
,即(x
1
+1)(x
2
+1)+y
1
y
2
=0,
而y
1
y
2
=(kx
1
+t)(kx
2
+t)=
k
2
x
1
x
2
+tk(
x
1
+
x
2
)+
t
2
,
∴
(
k
2
+1)
3(
t
2
-1)
1+3
k
2
-(tk+1)
6kt
1+3
k
2
+
t
2
+1=0
,解得
k=
2
t
2
-1
3t
.
如果
k
2
>
t
2
-1
3
对任意的t>0都成立,则存在k,使得以线段MN为直径的圆过E点.
(
2
t
2
-1
3t
)
2
-
t
2
-1
3
=
(
t
2
-1)
2
+
t
2
9
t
2
>0
,即
k
2
>
t
2
-1
3
.
∴对任意的t>0,都存在k,使得以线段MN为直径的圆过E点.
举一反三
如图,曲线C
1
:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(b>a>0,y≥0)与抛物线C
2
:x
2
=2py(p>0)的交点分别为A,B,曲线C
1
与抛物线C
2
在点A处的切线分别为l
1
和l
2
,且斜率分别为k
1
和k
2
.
(I)k
1
•k
2
是否与p无关?若是,给出证明;若否,给以说明;
(Ⅱ)若l
2
与y轴的交点为D(0,-2),当a
2
+b
2
取得最小值9时,求曲线C
1
与抛物线C
2
的方程.
题型:枣庄一模
难度:
|
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过椭圆x
2
+2y
2
=2的左焦点引一条倾斜角为45
0
的直线,求以此直线与椭圆的两个交点及椭圆中心为顶点的三角形的面积.
题型:不详
难度:
|
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已知离心率为
4
5
的椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,双曲线以椭圆的长轴为实轴,短轴为虚轴,且焦距为2
34
.
(I)求椭圆及双曲线的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别为A,B,在第二象限内取双曲线上一点P,连结BP交椭圆于点M,连结PA并延长交椭圆于点N,若
BM
=
MP
.求四边形ANBM的面积.
题型:日照一模
难度:
|
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如图,已知抛物线P:y
2
=x,直线AB与抛物线P交于A,B两点,OA⊥OB,
OA
+
OB
=
OC
,OC与AB交于点M.
(1)求点M的轨迹方程;
(2)求四边形AOBC的面积的最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线C的方程为y=x
2
,过(0,1)点的直线l与C相交于点A,B,证明:OA⊥OB(O为坐标原点)
题型:不详
难度:
|
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