已知抛物线y 2=2px及定点A(a,b),B(-a,0),(ab≠0,b 2≠2pa).M是抛物线上的点,设直线AM,BM与抛物线的另一交点分别为M1,M2.

已知抛物线y 2=2px及定点A(a,b),B(-a,0),(ab≠0,b 2≠2pa).M是抛物线上的点,设直线AM,BM与抛物线的另一交点分别为M1,M2.

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已知抛物线y 2=2px及定点A(a,b),B(-a,0),(ab≠0,b 2≠2pa).M是抛物线上的点,设直线AM,BM与抛物线的另一交点分别为M1,M2
求证:当M点在抛物线上变动时(只要M1,M2存在且M1≠M2),直线M1M2恒过一个定点.并求出这个定点的坐标.
答案

魔方格
证明:设M(
m2
2p
,m).M1
m12
2p
,m1),M2
m22
2p
,m2),
则A、M、M1共线,得
b-m
m1-m
=
a-
m2
2p
m12
2p
-
m2
2p
,即b-m=
2pa-m2
m1+m
2pa-m2
m1+m

∴m1=
2pa-bm
b-m
,同法得m2=
2pa
m

∴M1M2所在直线方程为
y-m2
m1-m2
=
2pa-m22
m12-m22
,即(m1+m2)y=2px+m1m2
消去m1,m2,得2paby-bm2y=2pbmx-2pm2x+4p2a2-2pabm.(1)
分别令m=0,1代入,得x=a,y=
2pa
b

以x=a,y=
2pa
b
代入方程(1)知此式恒成立.
即M1M2过定点(a,
2pa
b
举一反三
已知抛物线x2=y+1上一定点A(-1,0)和两动点P,Q,当PA⊥PQ时,点Q的横坐标的取值范围是(  )
A.(-∞,-3]B.[1,+∞)C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
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已知抛物线C:y2=2px (p>0)上一点P(6,m)到其焦点F的距离为7,则抛物线C的以点M(2,1)为中点的弦AB所在直线的方程为______.
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若直线l过点(0,3)且与抛物线y2=2x只有一个公共点,求该直线方程.
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设F为抛物线y2=4x的焦点,A为抛物线上任意一点,以F为圆心,|AF|为半径画圆,与x轴负半轴交于B点,试判断过A,B的直线与抛物线的位置关系,并证明.
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已知椭圆的中心在原点O,焦点在坐标轴上,直线y=2x+1与该椭圆相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=
10
11
,求椭圆的方程.
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