已知椭圆的中心在原点O,焦点在坐标轴上,直线y=2x+1与该椭圆相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=1011,求椭圆的方程.
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已知椭圆的中心在原点O,焦点在坐标轴上,直线y=2x+1与该椭圆相交于P和Q,且OP⊥OQ,|PQ|=1011,求椭圆的方程.
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆的中心在原点O,焦点在坐标轴上,直线y=2x+1与该椭圆相交于P和Q,且OP⊥OQ,
|PQ|=
10
11
,求椭圆的方程.
答案
解析:设所求椭圆的方程为mx
2
+ny
2
=1,(m>0,n>0),
依题意,点P(x
1
,y
1
)、Q(x
2
,y
2
)的坐标满足方程组
m
x
2
+n
y
2
=1
y=2x+1
解之并整理得(m+4n)x
2
+4nx+n-1=0
所以:x
1
+x
2
=-
4n
m+4n
,x
1
x
2
=
n-1
m+4n
①
由OP⊥OQ,
∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0
∴x
1
x
2
+(2x
1
+1)(2x
2
+1)=0,5x
1
x
2
+2(x
1
+x
2
)+1=0
∴5×
n-1
m+4n
+2×
-4n
m+4n
+1=0,∴m+n=5 ②
又由|PQ|=
10
11
∴|PQ|
2
=(x
1
-x
2
)
2
+(y
1
-y
2
)
2
=
100
121
∴(x
1
-x
2
)
2
+(2x
1
-2x
2
)
2
=
100
121
,
∴5(x
1
+x
2
)
2
-20x
1
x
2
=
100
121
,(x
1
+x
2
)
2
-4x
1
x
2
=
20
121
,③
由①②③可得:19n
2
-98n+120=0
∴n=2或n=
60
19
,m=3或m=
35
19
故所求椭圆方程为3x
2
+2y
2
=1,或
35
x
2
19
+
60
y
2
19
=1
.
举一反三
椭圆
x
2
16
+
y
2
4
=1
上的点到直线
x+2y-
2
=0
的最大距离是______.
题型:不详
难度:
|
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给定整数n≥2,设M
0
(x
0
,y
0
)是抛物线y
2
=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对任意正整数m,必存在整数k≥2,使(
x
m0
,y
m0
)为抛物线y
2
=kx-1与直线y=x的一个交点.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
过点(0,1),且离心率为
3
2
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)A,B为椭圆C的左右顶点,直线
l:x=2
2
与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A,B的动点,直线AP,BP分别交直线l于E,F两点.证明:当点P在椭圆C上运动时,|DE|•|DF|恒为定值.
题型:东城区一模
难度:
|
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已知P(-4,-4),点Q是离心率为
2
2
且焦点在x轴上的椭圆x
2
+my
2
=16上的动点,M是线段PQ上的点,且满足
PM
=
1
3
MQ
,则动点M的轨迹方程是______.
题型:衢州一模
难度:
|
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已知A、B是抛物线x
2
=4y上的两点,线段AB的中点为M(2,2),则|AB|等于______.
题型:不详
难度:
|
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