已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,1),且离心率为32.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)A,B为椭圆C的左右顶点,直线l:x=22与x轴交于

已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(0,1),且离心率为32.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)A,B为椭圆C的左右顶点,直线l:x=22与x轴交于

题型:东城区一模难度:来源:
已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
过点(0,1),且离心率为


3
2

(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)A,B为椭圆C的左右顶点,直线l:x=2


2
与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A,B的动点,直线AP,BP分别交直线l于E,F两点.证明:当点P在椭圆C上运动时,|DE|•|DF|恒为定值.
答案
(Ⅰ)由题意可知,b=1,
又因为e=
c
a
=


3
2
,且a2=b2+c2
解得a=2,
所以椭圆的方程为
x2
4
+y2=1

(Ⅱ)由题意可得:A(-2,0),B(2,0).设P(x0,y0),由题意可得:-2<x0<2,
所以直线AP的方程为y=
y0
x0+2
(x+2)
,令x=2


2
,则y=
(2


2
+2)y0
x0+2

|DE|=(2


2
+2)
|y0|
|x0+2|

同理:直线BP的方程为y=
y0
x0-2
(x-2)
,令x=2


2
,则y=
(2


2
-2)y0
x0-2

|DF|=(2


2
-2)
|y0|
|x0-2|

所以|DE|•|DF|=(2


2
+2)
|y0|
|x0+2|
•(2


2
-2)
|y0|
|x0-2|
=
4
y20
|
x20
-4|
=
4
y20
4-
x20

x20
4
+
y20
=1
,即4y02=4-x02,代入上式,
所以|DE|•|DF|=1,
所以|DE|•|DF|为定值1.
举一反三
已知P(-4,-4),点Q是离心率为


2
2
且焦点在x轴上的椭圆x2+my2=16上的动点,M是线段PQ上的点,且满足


PM
=
1
3


MQ
,则动点M的轨迹方程是______.
题型:衢州一模难度:| 查看答案
已知A、B是抛物线x2=4y上的两点,线段AB的中点为M(2,2),则|AB|等于______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为
1
2
,其中一个顶点是抛物线x2=-4


3
y
的焦点.
(I)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B满足


PA


PB
=
5
4
,若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明埋由.
题型:德州二模难度:| 查看答案
已知长方形ABCD,AB=2


2
,BC=


3
3
.以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
(I)求以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆P的标准方程;
(Ⅱ)已知定点E(-1,0),直线y=kx+t与椭圆P交于M、N相异两点,证明:对作意的t>0,都存在实数k,使得以线段MN为直径的圆过E点.魔方格
题型:不详难度:| 查看答案
如图,曲线C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(b>a>0,y≥0)与抛物线C2:x2=2py(p>0)的交点分别为A,B,曲线C1与抛物线C2在点A处的切线分别为l1和l2,且斜率分别为k1和k2
(I)k1•k2是否与p无关?若是,给出证明;若否,给以说明;
(Ⅱ)若l2与y轴的交点为D(0,-2),当a2+b2取得最小值9时,求曲线C1与抛物线C2的方程.魔方格
题型:枣庄一模难度:| 查看答案
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