给定整数n≥2,设M0(x0,y0)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对任意正整数m,必存在整数k≥2,使(xm0,ym0)为抛物线y2=kx
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给定整数n≥2,设M0(x0,y0)是抛物线y2=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对任意正整数m,必存在整数k≥2,使(xm0,ym0)为抛物线y2=kx
题型:不详
难度:
来源:
给定整数n≥2,设M
0
(x
0
,y
0
)是抛物线y
2
=nx-1与直线y=x的一个交点.试证明对任意正整数m,必存在整数k≥2,使(
x
m0
,y
m0
)为抛物线y
2
=kx-1与直线y=x的一个交点.
答案
证明:y
2
=nx-1与y=x联立,可得x
2
-nx+1=0,∴x=
n±
n
2
-4
2
∴x
0
=y
0
=
n±
n
2
-4
2
.
∴x
0
+
1
x
0
=n≥2.…(5分)
若(
x
m0
,
y
m0
)为抛物线y
2
=kx-1与直线y=x的一个交点,则k=
x
m0
+
1
x
m0
.…(10分)
记k
m
=
x
m0
+
1
x
m0
,由于k
1
=n是整数,k
2
=
x
20
+
1
x
20
=(x
0
+
1
x
0
)
2
-2=n
2
-2也是整数,
且k
m+1
=k
m
(x
0
+
1
x
0
)-k
m-1
=nk
m
-k
m-1
,(m≥2)①
所以对于一切正整数m,k
m
=
x
m0
+
1
x
m0
是正整数,且k
m
≥2现在对于任意正整数m,
取k=
x
m0
+
1
x
m0
,满足k≥2,且使得y
2
=kx-1与y=x的交点为(
x
m0
,
y
m0
).…(12分)
举一反三
已知椭圆
C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
过点(0,1),且离心率为
3
2
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)A,B为椭圆C的左右顶点,直线
l:x=2
2
与x轴交于点D,点P是椭圆C上异于A,B的动点,直线AP,BP分别交直线l于E,F两点.证明:当点P在椭圆C上运动时,|DE|•|DF|恒为定值.
题型:东城区一模
难度:
|
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已知P(-4,-4),点Q是离心率为
2
2
且焦点在x轴上的椭圆x
2
+my
2
=16上的动点,M是线段PQ上的点,且满足
PM
=
1
3
MQ
,则动点M的轨迹方程是______.
题型:衢州一模
难度:
|
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已知A、B是抛物线x
2
=4y上的两点,线段AB的中点为M(2,2),则|AB|等于______.
题型:不详
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|
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已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C的离心率为
1
2
,其中一个顶点是抛物线x
2
=
-4
3
y
的焦点.
(I)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B满足
PA
•
PB
=
5
4
,若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明埋由.
题型:德州二模
难度:
|
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已知长方形ABCD,AB=2
2
,BC=
3
3
.以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xOy.
(I)求以A,B为焦点,且过C,D两点的椭圆P的标准方程;
(Ⅱ)已知定点E(-1,0),直线y=kx+t与椭圆P交于M、N相异两点,证明:对作意的t>0,都存在实数k,使得以线段MN为直径的圆过E点.
题型:不详
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|
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