若直线l过点（0，3）且与抛物线y2=2x只有一个公共点，求该直线方程．

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若直线l过点（0，3）且与抛物线y²=2x只有一个公共点，求该直线方程．

答案

若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=0，满足条件；
当直线l的斜率存在时，不妨设l：y=kx+3，代入y²=2x，得：k²x²+（6k-2）x+9=0
由条件知，当k=0时，即：直线y=3与抛物线有一个交点
当k≠0时，由△=（6k-2）²-4×9×k²=0，解得：k=

，则直线方程为y=

x+3
故满足条件的直线方程为：x=0或y=3或y=

x+3．

举一反三

设F为抛物线y²=4x的焦点，A为抛物线上任意一点，以F为圆心，|AF|为半径画圆，与x轴负半轴交于B点，试判断过A，B的直线与抛物线的位置关系，并证明．

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已知椭圆的中心在原点O，焦点在坐标轴上，直线y=2x+1与该椭圆相交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=

，求椭圆的方程．

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椭圆

=1上的点到直线x+2y-

=0的最大距离是______．

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给定整数n≥2，设M₀（x₀，y₀）是抛物线y²=nx-1与直线y=x的一个交点．试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使（

，y

）为抛物线y²=kx-1与直线y=x的一个交点．

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已知椭圆C：

=1(a＞b＞0)过点（0，1），且离心率为

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）A，B为椭圆C的左右顶点，直线l：x=2

与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线l于E，F两点．证明：当点P在椭圆C上运动时，|DE|•|DF|恒为定值．

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