直线l过椭圆x22+y2=1的左焦点F,且与椭圆相交于P、Q两点,M为PQ的中点,O为原点.若△FMO是以OF为底边的等腰三角形,则直线l的方程为______.
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直线l过椭圆x22+y2=1的左焦点F,且与椭圆相交于P、Q两点,M为PQ的中点,O为原点.若△FMO是以OF为底边的等腰三角形,则直线l的方程为______.
题型:不详
难度:
来源:
直线l过椭圆
x
2
2
+
y
2
=1
的左焦点F,且与椭圆相交于P、Q两点,M为PQ的中点,O为原点.若△FMO是以OF为底边的等腰三角形,则直线l的方程为______.
答案
由
x
2
2
+
y
2
=1
,得a
2
=2,b
2
=1,所以c
2
=a
2
-b
2
=2-1=1.
则c=1,则左焦点F(-1,0).
由题意可知,直线l的斜率存在且不等于0,
则直线l的方程为y=kx+k.
设l与椭圆相交于P(x
1
,y
1
)、Q(x
2
,y
2
),
联立
x
2
2
+
y
2
=1
y=kx+k
,得:(2k
2
+1)x
2
+4k
2
x+2k-2=0.
所以
x
1
+
x
2
=-
4
k
2
2
k
2
+1
.
则PQ的中点M的横坐标为
x
1
+
x
2
2
=-
2
k
2
2
k
2
+1
.
因为△FMO是以OF为底边的等腰三角形,
所以
-
2
k
2
2
k
2
+1
=-
1
2
.解得:
k=±
2
2
.
所以直线l的方程为
y=±
2
2
(x+1)
.
故答案为
y=±
2
2
(x+1)
.
举一反三
在平面直角坐标系xOy中,若直线l:
x=t
y=t-a
,(t为参数)过椭圆C:
x=3cosθ
y=2sinθ
(θ为参数)的右顶点,则常数a的值为______.
题型:湖南
难度:
|
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设抛物线C:x
2
=2py(p>0),过它的焦点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A,B两点,已知|AB|=2.
(1)求抛物线C的方程;
(2)已知t是一个负实数,P是直线y=t上一点,过P作直线l
1
与l
2
,使l
1
⊥l
2
,若对任意的点P,总存在这样的直线l
1
与l
2
,使l
1
,l
2
与抛物线均有公共点,求t的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的离心率e=
3
2
,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B,已知点A的坐标为(-a,0).
(i)若
|AB|=
4
2
5
,求直线l的倾斜角;
(ii)若点Q(0,y
0
)在线段AB的垂直平分线上,且
QA
•
QB
=4
.求y
0
的值.
题型:天津
难度:
|
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如图,已知点A(0,2)和抛物线y
2
=x+4上两点B、C,使得AB⊥BC,求点C的纵坐标的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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过双曲线x
2
-
y
2
2
=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点,若实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条,则λ=______.
题型:不详
难度:
|
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