设0<θ<π2,曲线x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1有4个不同的交点.(Ⅰ)求θ的取值范围;(Ⅱ)证明这4个交点共圆,并求圆半径的
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设0<θ<π2,曲线x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1有4个不同的交点.(Ⅰ)求θ的取值范围;(Ⅱ)证明这4个交点共圆,并求圆半径的
题型:江西
难度:
来源:
设0<θ<
π
2
,曲线x
2
sinθ+y
2
cosθ=1和x
2
cosθ-y
2
sinθ=1有4个不同的交点.
(Ⅰ)求θ的取值范围;
(Ⅱ)证明这4个交点共圆,并求圆半径的取值范围.
答案
(I)两曲线的交点坐标(x,y)满足方程组
x
2
sinθ+
y
2
cosθ=1
x
2
cosθ-
y
2
sinθ=1
即
x
2
=sinθ+cosθ
y
2
=cosθ-sinθ.
有4个不同交点等价于x
2
>0,且y
2
>0,即
sinθ+cosθ>0
cosθ-sinθ>0.
又因为
0<θ<
π
2
,所以得θ的取值范围为(0,
π
4
)
.
(II)证明:由(I)的推理知4个交点的坐标(x,y)满足方程
x
2
+
y
2
=2cosθ(0<θ<
π
4
)
,
即得4个交点共圆,该圆的圆心在原点,半径为
r=
2cosθ
(0<θ<
π
4
)
.
因为cosθ在
(0,
π
4
)
上是减函数,所以由
cos0=1,cos
π
4
=
2
2
,
知r的取值范围是
(
4
2
,
2
)
.
举一反三
已知椭圆
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)的离心率
e=
3
2
,且短半轴b=1,F
1
,F
2
为其左右焦点,P是椭圆上动点.
(Ⅰ)求椭圆方程.
(Ⅱ)当∠F
1
PF
2
=60°时,求△PF
1
F
2
面积.
(Ⅲ)求
P
F
1
•
P
F
2
取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1
(a>b>0)的离心率为
3
2
,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线于C相交于A、B两点,若
AF
=3
FB
.则k=( )
A.1
B.
2
C.
3
D.2
题型:重庆模拟
难度:
|
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已知椭圆Γ的方程为
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
,A(0,b)、B(0,-b)和Q(a,0)为Γ的三个顶点.
(1)若点M满足
AM
=
1
2
(
AQ
+
AB
)
,求点M的坐标;
(2)设直线l
1
:y=k
1
x+p交椭圆Γ于C、D两点,交直线l
2
:y=k
2
x于点E.若
k
1
•
k
2
=-
b
2
a
2
,证明:E为CD的中点;
(3)设点P在椭圆Γ内且不在x轴上,如何构作过PQ中点F的直线l,使得l与椭圆Γ的两个交点P
1
、P
2
满足
P
P
1
+
P
P
2
=
PQ
P
P
1
+
P
P
2
=
PQ
?令a=10,b=5,点P的坐标是(-8,-1),若椭圆Γ上的点P
1
、P
2
满足
P
P
1
+
P
P
2
=
PQ
,求点P
1
、P
2
的坐标.
题型:上海
难度:
|
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已知抛物线y
2
=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)两点,则y
1
2
+y
2
2
的最小值是 ______.
题型:山东
难度:
|
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已知抛物线C:y
2
=2px(p>0)的焦点为F,准线与x轴交于M点,过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点,若
|AM|=
5
4
|AF|
,则k的值______.
题型:不详
难度:
|
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