(I)∵椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P(,). ∴c=1,2a=PF1+PF2=+=2,即a= ∴椭圆的离心率e===…4分 (II)由(I)知,椭圆C的方程为+y2=1,设点Q的坐标为(x,y) (1)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1)、(0,-1)两点,此时点Q的坐标为(0,2-) (2)当直线l与x轴不垂直时,可设其方程为y=kx+2, 因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),则 |AM|2=(1+k2)x1 2,|AN|2=(1+k2)x2 2,又|AQ|2=(1+k2)x2,=+ ∴=+,即=+=…① 将y=kx+2代入+y2=1中,得(2k2+1)x2+8kx+6=0…② 由△=(8k)2-24(2k2+1)>0,得k2> 由②知x1+x2=-,x1x2=,代入①中化简得x2=…③ 因为点Q在直线y=kx+2上,所以k=,代入③中并化简得10(y-2)2-3x2=18 由③及k2>可知0<x2<,即x∈(-,0)∪(0,) 由题意,Q(x,y)在椭圆C内,所以-1≤y≤1, 又由10(y-2)2-3x2=18得(y-2)2∈[,)且-1≤y≤1,则y∈(,2-) 所以,点Q的轨迹方程为10(y-2)2-3x2=18,其中x∈(-,),y∈(,2-)…13分 |