如图,三条直线a、b、c两两平行,直线a、b间的距离为p,直线b、c间的距离为p2,A、B为直线a上的两个定点,且AB=2p,MN是在直线b上滑动的长度为2p的
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如图,三条直线a、b、c两两平行,直线a、b间的距离为p,直线b、c间的距离为p2,A、B为直线a上的两个定点,且AB=2p,MN是在直线b上滑动的长度为2p的
题型:不详
难度:
来源:
如图,三条直线a、b、c两两平行,直线a、b间的距离为p,直线b、c间的距离为
p
2
,A、B为直线a上的两个定点,且AB=2p,MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段.
(1)建立适当的平面直角坐标系,求△AMN的外心C的轨迹E;
(2)当△AMN的外心C在E上什么位置时,使d+BC最小?最小值是多少?(其中,d为外心C到直线c的距离)
答案
以直线b为 x轴,以过点A且与b直线垂直的直线为y轴,建立直角坐标系,
由题意A(0,p),设△AMN的外心C(x,y),则M(x-p,0)N(x+p,0),
由题意有|CA|=|CM|.∴
x
2
+(y-p
)
2
=
(x-x+p
)
2
+
y
2
,
解得x
2
=2py,它是以原点为顶点、y轴为对称轴、开口向上的抛物线.
(2)不难得到,直线c是轨迹E的准线,由抛物线的定义可知,d=|CF|,
其中F(0.
p
2
),是抛物线的焦点,
所以d+|BC|=|CF|+|BC|,
由两点距离可知直线段最短,
线段BF与轨迹E的交点就为所求的使d+|BC|最小点,
由两点式方程可求直线BF的方程为:y=
1
4
x+
1
2
p,与x
2
=2py联立,
得C(
1
4
p(1+
17
),
9+
17
16
p
).
故当△AMN的外心C在E上
C(
1
4
p(1+
17
),
9+
17
16
p
)时,d+|BC|最小,
最小值|BF|=
17
2
p
.
举一反三
已知定点N(3,0)与以点M为圆心的圆M的方程为(x+3)
2
+y
2
=16,动点P在圆M上运动,线段PN的垂直平分线交直线MP于Q点,则动点Q的轨迹方程是______.
题型:不详
难度:
|
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(1)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-
1
3
.求动点P的轨迹方程.
(2)
x
2
a
2
-
y
2
b
2
=1(a>0,b>0)
的离心率为2,原点到直线AB的距离为
3
2
,其中A(0,-b)、B(a,0)求该双曲线的标准方程.
题型:不详
难度:
|
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已知一条曲线上的点到定点O(0,0)的距离是到定点A(3,0)距离的二倍,求这条曲线的方程.
题型:不详
难度:
|
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设过点P(x,y)的直线分别与x轴和y轴交于A,B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若
BP
=3
PA
且
OQ
•
AB
=4
.
(1)求点P的轨迹M的方程;
(2)过F(2,0)的直线与轨迹M交于A,B两点,求
FA
•
FB
的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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一动点在圆x
2
+y
2
=1上移动时,它与定点B(2,3)连线的中点轨迹是( )
A.(2x-2)
2
+(2y-3)
2
=1
B.(4-x)
2
+(6-y)
2
=1
C.(x+2)
2
+(y+3)
2
=1
D.(x+2)
2
+(y+3)
2
=4
题型:不详
难度:
|
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