已知抛物线C:y=14x2-32xcosθ+94cos2θ+2sinθ(θ∈R)(I)当θ变化时,求抛物线C的顶点的轨迹E的方程;(II)已知直线l过圆x2+y
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已知抛物线C:y=14x2-32xcosθ+94cos2θ+2sinθ(θ∈R)(I)当θ变化时,求抛物线C的顶点的轨迹E的方程;(II)已知直线l过圆x2+y
题型:宿州模拟
难度:
来源:
已知抛物线C:
y=
1
4
x
2
-
3
2
xcosθ+
9
4
co
s
2
θ+2sinθ
(θ∈R)
(I)当θ变化时,求抛物线C的顶点的轨迹E的方程;
(II)已知直线l过圆x
2
+y
2
+4x-2y=0的圆心M,交(I)中轨迹E于A、B两点,若
AB
=2
AM
,求直线l的方程.
答案
(I)将抛物线方程配方得
y=
1
4
(x-3cosθ
)
2
+2sinθ
,
设抛物线的顶点为p(x
0
,y
0
),则
x
0
=3cosθ
y
0
=2sinθ
,消去θ得
x
20
9
+
y
20
4
=1
.
故抛物线C的顶点P的轨迹E的方程:
x
2
9
+
y
2
4
=1
.…(5分)
(Ⅱ)由x
2
+y
2
+4x-2y=0得圆心M(-2,1),
∵
AB
=2
AM
∴M是AB的中点,易得直线l不垂直x 轴,
可设l的方程为y=k(x+2)+1,代入轨迹E的方程得:(4+9k
2
)x
2
+(36k
2
+18k)x+36k
2
+36k-27=0,
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则
x
1
+
x
2
=-
36
k
2
+18k
4+9
k
2
,
∵M是AB的中点,∴
-
36
k
2
+18k
4+9
k
2
=-4
,解得k=
8
9
.
∴直线l的方程为
y=
8
9
(x+2)+1
,即8x-9y+25=0…(12分)
举一反三
已知抛物线x
2
=2py上点(2,2)处的切线经过椭圆
E:
y
2
a
2
+
x
2
b
2
=1(a>b>0)
的两个顶点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过椭圆E的上顶点A的两条斜率之积为-4的直线与该椭圆交于B、C两点.请问:是否存在一点D,使得直线BC恒过该点?若存在,请求出定点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,过点A作直线BC的垂线,垂足为H,求点H的轨迹方程.
题型:枣庄二模
难度:
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动点P(x,y)到点F(0,1)的距离与它到直线y+1=0的距离相等,则动点P的轨迹方程为______.
题型:嘉定区一模
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已知圆M:(x-m)
2
+(y-n)
2
=γ
2
及定点N(1,0),点P是圆M上的动点,点Q在NP上,点G在MP上,且满足
NP
=2
NQ
,
GQ
•
NP
=0.
(Ⅰ)若m=-1,n=0,r=4,求点G的轨迹C的方程;
(Ⅱ)若动圆M和(Ⅰ)中所求轨迹C相交于不同两点A、B,是否存在一组正实数m,n,r使得直线MN垂直平分线段AB,若存在,求出这组正实数;若不存在,说明理由.
题型:郑州二模
难度:
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已知动点P(x,y)与两个定点M(-1,0),N(1,0)的连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状;
(3)当λ=2时,对于平面上的定点
E(-
3
,0),F(
3
,0)
,试探究轨迹C上是否存在点P,使得∠EPF=120°,若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
题型:汕头二模
难度:
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已知圆C:(x+1)
2
+y
2
=8,过D(1,0)且与圆C相切的动圆圆心为P,
(1)求点P的轨迹E的方程;
(2)设过点C的直线l
1
交曲线E于Q,S两点,过点D的直线l
2
交曲线E于R,T两点,且l
1
⊥l
2
,垂足为W.(Q,S,R,T为不同的四个点)
①设W(x
°
,y
°
),证明:
x
°
2
2
+
y
°
2
<1
;
②求四边形QRST的面积的最小值.
题型:不详
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