已知两点A(-2,0)、B(2,0),动点P满足kPA • kPB=-14.(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)H是曲线E与y轴正半轴的交点,曲线E上是否存
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已知两点A(-2,0)、B(2,0),动点P满足kPA • kPB=-14.(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)H是曲线E与y轴正半轴的交点,曲线E上是否存
题型:漳州模拟
难度:
来源:
已知两点A(-2,0)、B(2,0),动点P满足
k
PA
•
k
PB
=-
1
4
.
(1)求动点P的轨迹E的方程;
(2)H是曲线E与y轴正半轴的交点,曲线E上是否存在两点M、N,使得△HMN是以H为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明有几个;若不存在,请说明理由.
答案
(1)设点P的坐标为(x,y)(y≠0),则
k
PA
=
y-0
x+2
,
k
PB
=
y-0
x-2
,
∵
k
PA
•
k
PB
=-
1
4
,∴
y
x+2
•
y
x-2
=-
1
4
,化简得
x
2
4
+
y
2
=1
,
∴动点P的轨迹E的方程为
x
2
4
+
y
2
=1
(y≠0).注:如果未说明y≠0,扣(1分).
(2)设能构成等腰直角三角形HMN,其中H为(0,1),
由题意可知,直角边HM,HN不可能垂直或平行于x轴,故可设HM所在直线的方程为y=kx+1,(不妨设k>0)
则HN所在直线的方程为
y=-
1
k
x+1
,由
y=kx+1
x
2
+4
y
2
=4
求得交点M
(-
8k
1+4
k
2
,
-8
k
2
1+4
k
2
+1)
,(另一交点H(0,1))
∴
|HM|=
(-
8k
1+4
k
2
)
2
+
(-
8
k
2
1+4
k
2
)
2
=
8k
1+
k
2
1+4
k
2
,
用
-
1
k
代替上式中的k,得
|HN|=
8
1+
k
2
4+k
2
,
由|HM|=|HN|,得k(4+k
2
)=1+4k
2
,
∴k
3
-4k
2
+4k-1=0⇒(k-1)(k
2
-3k+1)=0,
解得:k=1或
k=
3±
5
2
,
当HM斜率k=1时,HN斜率-1;当HM斜率
k=
3+
5
2
时,HN斜率
-3+
5
2
;当HM斜率
k=
3-
5
2
时,HN斜率
-3-
5
2
,
综上述,符合条件的三角形有3个.
举一反三
A,B是抛物线y
2
=4ax(a>0)上的两动点,且OA⊥OB,OP⊥AB于P,求动点P的轨迹.
题型:不详
难度:
|
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已知常数a>0,向量
m
=(0,a),
n
=(1,0),经过定点A(0,-a)以
m
+λ
n
为方向向量的直线与经过定点B(0,a)以
n
+2λ
m
为方向向量的直线相交于点P,其中λ∈R.求动点P所形成的曲线C的方程.
题型:不详
难度:
|
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设Q是圆O′:(x+1)
2
+y
2
=8上的动点,F是抛物线y
2
=4x的焦点,线段FQ的垂直平分线l交半径O′Q于点P.
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)斜率为k的直线l过点(0,
k
2
+1
)且与轨迹C交于不同的两点A,B,记△AB0的面积为S=f(k),若
OA
•
OB
=m
(
3
5
≤m≤
3
4
),求f(k)的最大值和最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知正四面体A-BCD,动点P在△ABC内,且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等,则动点P的轨迹为( )
A.椭圆的一部分
B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分
D.一条线段
题型:不详
难度:
|
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已知点M,N分别在直线y=mx和y=-mx(m>0)上运动,点P是线段MN的中点,且|MN|=2,动点P的轨迹是曲线C.
(1)求曲线C的方程,并讨论方程所表示的曲线类型;
(2)设m=
2
2
时,过点A(-
2
6
3
,0)的直线l与曲线C恰有一个公共点,求直线l的斜率.
题型:不详
难度:
|
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