已知一动圆P与定圆(x-1)2+y2=1和y轴都相切,(1)求动圆圆心P的轨迹M的方程;(2)过定点A(1,2),作△ABC,使∠BAC=90°,且动点B,C在
题型:不详难度:来源:
已知一动圆P与定圆(x-1)2+y2=1和y轴都相切, (1)求动圆圆心P的轨迹M的方程; (2)过定点A(1,2),作△ABC,使∠BAC=90°,且动点B,C在P的轨迹M上移动(B,C不在坐标轴上),问直线BC是否过某定点?证明你的结论. |
答案
(1)设动点P的坐标为(x,y),由题设知:-1=|x|3′ 化简得:x>0时,y2=4x. x<0时,y=0 所以 P点的轨迹方程为y2=4x(x>0)和y=0(x<0)6′ (2)设B、C的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),又A(1,2) ∵∠BAC=90°,∴•=(x1-1,y1-2)•(x2-1,y2-2)=0 即(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2)=0① 而BC的直线方程为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)②8′ ∵B、C在抛物线y2=4x上, ∴x1=,x2=代入①式化简得-2(y1+y2)-y1y2=20③10′ 把x1=,x2=代入②式化简得BC的方程为(y1+y2)y-y1y2=4x④12′ 对比③④可知,直线BC过点(5,-2), ∴直线BC恒过一定点(5,-2)14′ |
举一反三
已知定点A(1,1)和直线l:x+y-2=0,则到定点A的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹为( )A.椭圆 | B.双曲线 | C.抛物线 | D.直线 | 已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2.记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程; (2)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求•的最小值. | 已知三点A(-1,0),B(1,0),C(-1,),曲线E过C点,且动点P在曲线E上运动,并保持|PA|+|PB|的值不变. (I)求曲线E的方程; (II)若C、M(x1,y1),N(x2,y2)是曲线E上的不同三点,直线CM、CN的倾斜角互补.问直线MN的斜率是否是定值?如果是,求出该定值,如果不是,说明理由. | 圆(x-2)2+(y+1)2=9的弦长为2,则弦的中点的轨迹方程是______. | 已知A(2,-1),B(-1,1),O为坐标原点,动点P满足=m+n,其中m、n∈R,且2m2-n2=2,则动点P的轨迹是( )A.焦距为的椭圆 | B.焦距为2的椭圆 | C.焦距为的双曲线 | D.焦距为2的双曲线 |
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