(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为+y2=1 (2)设线段PA的中点为M(x,y),点P的坐标是(x0,y0), 由得 由,点P在椭圆上,得+(2y-)2=1, ∴线段PA中点M的轨迹方程是(x-)2+4(y-)2=1. (3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2, 因此△ABC的面积S△ABC=1. 当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入+y2=1, 解得B(,),C(-,-), 则|BC|=4,又点A到直线BC的距离d=, ∴△ABC的面积S△ABC=|BC|•d= 于是S△ABC== 由≥-1,得S△ABC≤,其中,当k=-时,等号成立. ∴S△ABC的最大值是. |