在平面直角坐标系xoy中,给定三点A(0,43),B(-1,0),C(1,0),点P到直线BC的距离是该点到直线AB,AC距离的等比中项.(Ⅰ)求点P的轨迹方程

在平面直角坐标系xoy中,给定三点A(0,43),B(-1,0),C(1,0),点P到直线BC的距离是该点到直线AB,AC距离的等比中项.(Ⅰ)求点P的轨迹方程

题型:广州一模难度:来源:
在平面直角坐标系xoy中,给定三点A(0,
4
3
),B(-1,0),C(1,0)
,点P到直线BC的距离是该点到直线AB,AC距离的等比中项.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线L经过△ABC的内心(设为D),且与P点的轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范围.
答案
(Ⅰ)直线AB、AC、BC的方程依次为y=
4
3
(x+1),y=-
4
3
(x-1),y=0
.点P(x,y)到AB、AC、BC的距离依次为d1=
1
5
|4x-3y+4|,d2=
1
5
|4x+3y-4|,d3=|y|
.依设,d1d2=d32,得|16x2-(3y-4)2|=25y2,即16x2-(3y-4)2+25y2=0,或16x2-(3y-4)2-25y2=0,化简得点P的轨迹方程为
圆S:2x2+2y2+3y-2=0与双曲线T:8x2-17y2+12y-8=0
(Ⅱ)由前知,点P的轨迹包含两部分
圆S:2x2+2y2+3y-2=0①
与双曲线T:8x2-17y2+12y-8=0②△ABC的内心D也是适合题设条件的点,由d1=d2=d3,解得D(0,
1
2
)
,且知它在圆S上.直线L经过D,且与点P的轨迹有3个公共点,所以,L的斜率存在,设L的方程为y=kx+
1
2

(i)当k=0时,L与圆S相切,有唯一的公共点D;此时,直线y=
1
2
平行于x轴,表明L与双曲线有不同于D的两个公共点,所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点.
(ii)当k≠0时,L与圆S有两个不同的交点.这时,L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况:
情况1:直线L经过点B或点C,此时L的斜率k=±
1
2
,直线L的方程为x=±(2y-1).代入方程②得y(3y-4)=0,解得E(
5
3
4
3
)或F(-
5
3
4
3
)
.表明直线BD与曲线T有2个交点B、E;直线CD与曲线T有2个交点C、F.
故当k=±
1
2
时,L恰好与点P的轨迹有3个公共点.(11分)
情况2:直线L不经过点B和C(即k≠±
1
2
),因为L与S有两个不同的交点,所以L与双曲线T有且只有一个公共点.即方程组





8x2-17y2+12y-8=0
y=kx+
1
2
有且只有一组实数解,消去y并化简得(8-17k2)x2-5kx-
25
4
=0

该方程有唯一实数解的充要条件是8-17k2=0④
(-5k)2+4(8-17k2)
25
4
=0

解方程④得k=±
2


34
17
,解方程⑤得k=±


2
2

综合得直线L的斜率k的取值范围{0,±
1
2
,±
2


34
17
,±


2
2
}
.(14分)
举一反三
已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为F(-


3
,0)
,右顶点为D(2,0),设点A(1,
1
2
)

(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程;
(3)过原点O的直线交椭圆于点B,C,求△ABC面积的最大值.魔方格
题型:上海难度:| 查看答案
已知圆P过点F(0,
1
4
)
,且与直线y=-
1
4
相切.
(Ⅰ)求圆心P的轨迹M的方程;
(Ⅱ)若直角三角形ABC的三个顶点在轨迹M上,且点B的横坐标为1,过点A、C分别作轨迹M的切线,两切线相交于点D,直线AC与y轴交于点E,当直线BC的斜率在[3,4]上变化时,直线DE斜率是否存在最大值,若存在,求其最大值和直线BC的方程;若不存在,请说明理由?魔方格
题型:衢州一模难度:| 查看答案
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