在平面直角坐标系xoy中,设点F(1,0),直线l:x=-1,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l.(1)求动点Q的轨迹的方程;(
题型:韶关三模难度:来源:
在平面直角坐标系xoy中,设点F(1,0),直线l:x=-1,点P在直线l上移动,R是线段PF与y轴的交点,RQ⊥FP,PQ⊥l. (1)求动点Q的轨迹的方程; (2)记Q的轨迹的方程为E,过点F作两条互相垂直的曲线E的弦AB、CD,设AB、CD的中点分别为M,N.求证:直线MN必过定点R(3,0). |
答案
(Ⅰ)依题意知,直线l的方程为:x=-1,设直线l与x轴交于点K(-1,0),由OK平行于直线l可得, OR是△FPK的中位线,故点R是线段FP的中点. 又RQ⊥FP,∴RQ是线段FP的垂直平分线.∴|PQ|是点Q到直线l的距离. ∵点Q在线段FP的垂直平分线,∴|PQ|=|QF|. 故动点Q的轨迹E是以F为焦点,l为准线的抛物线,其方程为:y2=4x(x>0). (Ⅱ)设A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),N(xN,yN),直线AB的方程为y=k(x-1) 则(1)-(2)得yA+yB=,即yM=, 代入方程y=k(x-1),解得xM=+1. 所以点M的坐标为(+1 , ). 同理可得:N的坐标为(2k2+1,-2k). 直线MN的斜率为kMN==, 方程为;y+2k=(x-2k2-1),整理得y(1-k2)=k(x-3), 显然,不论k为何值,(3,0)均满足方程,所以直线MN恒过定点R(3,0). |
举一反三
设0<a<b,过两定点A(a,0)和B(b,0)分别引直线l和m,使与抛物线y2=x有四个不同的交点,当这四点共圆时,求这种直线l与m的交点P的轨迹. |
已知△ABC中,=,=.对于平面ABC上任意一点O,动点P满足=+λ+λ,λ∈[0,+∞).试问动点P的轨迹是否过某一个定点?说明理由. |
已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的离心率为,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切. (1)求椭圆C1的方程; (2)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1,且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直于l1,垂足为点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程; (3)过椭圆C1的左顶点A做直线m,与圆O相交于两点R、S,若△ORS是钝角三角形,求直线m的斜率k的取值范围. |
在平面直角坐标系xoy中,给定三点A(0,),B(-1,0),C(1,0),点P到直线BC的距离是该点到直线AB,AC距离的等比中项. (Ⅰ)求点P的轨迹方程; (Ⅱ)若直线L经过△ABC的内心(设为D),且与P点的轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范围. |
已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为F(-,0),右顶点为D(2,0),设点A(1,). (1)求该椭圆的标准方程; (2)若P是椭圆上的动点,求线段PA中点M的轨迹方程; (3)过原点O的直线交椭圆于点B,C,求△ABC面积的最大值. |
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